Гипотеза о случайности ошибки вычисления интеграла

Интеграл вероятностей

Интегральная
функция нормального распределения
результатов измерения F
(X) или ошибок F(Δx)
в новых переменных будет иметь один и
тот же вид:

(26)

Вероятность
того, что возможный результат измерения
Х окажется внутри заданного интервала
(Х₁,
Х₂)
согласно (26) может быть вычислен по
уравнению:

где

В
частности, для симметричного относительно
истинного значения Х₀
интервала ()
получим:

(27)

Здесь
учитывается, что функция
является нечетной.

Функция

(28)

называется
функцией Лапласа или интегралом
вероятностей (табл.1).

Таблица
1

Функция
Лапласа

t	2Ф(t)	t	2Ф(t)	t	2Ф(t)	t	2Ф(t)
0,	0,0000	1,0	0,6827	2	0,9545	3	0,9973
0,5	0,3829	1,5	0,8664	2,5	0,9876	3,5	0,9995

Интеграл
вероятностей (28) по уравнению (27) позволяет
вычислять вероятность нахождения
результата измерения Х или его ошибки
ΔХ в заданном симметричном относительно
центра распределения интервала (-σt,
σt
). Для этого нужно величинузаданного интервале ()
или ()
выразить в долях σ .т.е. найтии по табл1 определить искомую вероятность.

Решается
и обратная задача. Для заданной вероятности
δ (по табл.1) определяют t
и по известному σ находят искомый
интервал ().

Найдем
значения вероятностей δ для интервалов
()
приt=
I. 2. 3 :

Из
последнего равенства следует, что 99,73%
всех результатов измерений находятся
в пределах интервала

()
и лишь 0,27% — за его пределами.

На
рис.4 искомые вероятности δ изображены
заштрихованными площадями под кривыми
Гаусса f(t).
Вся площадь код кривой равна единице
(на рис. 4а

-t=1,
δ=0,68; 4б –t=2,
δ=0,95;
4в –t=3,
δ=0,997).

Те
результаты измерений, ошибки которых
вышли за пределы ± 3 σ , имеют очень малую
вероятность и такие измерения практически
невозможны («правило трех сигм»).
При большом числе отсчетов “правило
трех сигм” применяют для выявления
грубых ошибок — промахов.

Ошибка среднего арифметического

На
практике обычно вы-полняется некоторый
ряд из n
измерений

x₁,
x₂,
x₃,…
x_n.
(29)

Этот
ряд можно рассмат­ривать как случайную
выборку из нормальной генеральной
совокупности возможных ре-зультатов с
математическим ожиданием М(Х)=Х₀
и диспер- сией :D(х)=σ².

В
качестве приближенно­го значения Х₀
целесообразно принять среднее
арифмети-ческое из результатов изме-рений:

(30)

Основной
задачей теории ошибок является оценка
точности приближенного равенства (30).

Среднее
арифметическое
случайных величин является также
случайной величиной, имеющей нормальное
распределение с тем же центром М(Х)=Х₀,
но с дисперсией

(31)

Величину
называют средней квадратичной ошибкой
среднего арифметического. Следовательно,
средняя квадратичная ошибка среднего
арифметического изn
измерений в
раз меньше средней квадратичной ошибки
отдельного измерения.

Следует
помнить, что σ
зависит от обстоятельств измерений
изучаемого объекта, инструмента,
обстановки измерений и наблюдателя.
Поэтому когда характеризуют точность
применяемого способа измерения или же
сравнивают качество отдельных результатов
(выделение промахов), пользуются величиной
σ. Когда же оценивают точность
окончательного результата измерений
(среднего арифметического), применяют
.

Остается
выяснить, как можно вычислить
из опытных данных (29).

Согласно
определению (12) дисперсия
можно было бы вычислить следующим
образом:

однако
нам неизвестно истинное значение х₀.

Если
Х₀
заменить его приближенным значением
,
то, как показывает теория, для вычисления
дисперсии получится приближенная
формула:

(32)

Дисперсию
называют выборочной дисперсией, а
разность

(33)

остаточной
ошибкой отдельного измерения. Извлекая
квадратный корень из (32), получим

(34)

Эта
формула, определяющая среднюю квадратичную
ошибку по данным случайной выборки,
называется формулой Бесселя.

Из
выражения (31) аналогично найдем
приближенную оценку средней квадратичной
ошибки среднего арифметического

(35)

Соседние файлы в папке МЕХАНИКА

• #

  12.03.20151.05 Mб290BAZA.XLS

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Error function
Plot of the error function
General information
General definition
Fields of application	Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain
Image
Basic features
Parity	Odd
Specific features
Root	0
Derivative
Antiderivative
Series definition
Taylor series

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:^[1]

Some authors define without the factor of .^[2]
This nonelementary integral is a sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

and the imaginary error function (erfi) defined as

where i is the imaginary unit.

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»^[3] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.^[4]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [L_a, L_b] can be derived as

Properties[edit]

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e^−t2 is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z²) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»^[5]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions (see Liouville’s theorem), but by expanding the integrand e^−z2 into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

because −(2k − 1)z²/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

Higher order derivatives are given by

where H are the physicists’ Hermite polynomials.^[6]

Bürmann series[edit]

An expansion,^[7] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:^[8]

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c₁ = 31/200 and c₂ = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

Inverse functions[edit]

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf⁻¹ x satisfying

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series^[9]

where c₀ = 1 and

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf⁻¹ z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

For real x, there is a unique real number erfi⁻¹ x satisfying erfi(erfi⁻¹ x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi⁻¹ x.^[10]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi⁻¹ x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

where c_k is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

where the remainder is

which follows easily by induction, writing

and integrating by parts.

The asymptotic behavior of the remainder term, in Landau notation, is

as x → ∞. This can be found by

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:^[11]

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3^[12] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

converges for Re(z²) > 0. Here

zⁿ denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.^[13][14]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

• Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:

  

  (maximum error: 5×10⁻⁴)

  where a₁ = 0.278393, a₂ = 0.230389, a₃ = 0.000972, a₄ = 0.078108

  

  (maximum error: 2.5×10⁻⁵)

  where p = 0.47047, a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

  

  (maximum error: 3×10⁻⁷)

  where a₁ = 0.0705230784, a₂ = 0.0422820123, a₃ = 0.0092705272, a₄ = 0.0001520143, a₅ = 0.0002765672, a₆ = 0.0000430638

  

  (maximum error: 1.5×10⁻⁷)

  where p = 0.3275911, a₁ = 0.254829592, a₂ = −0.284496736, a₃ = 1.421413741, a₄ = −1.453152027, a₅ = 1.061405429

  All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).

• Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by^[15]

  

• The above have been generalized to sums of N exponentials^[16] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where

  

  In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(a_n,b_n)}^N
  _{n = 1} that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(a_n,b_n)}^N
  _{n = 1} for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.^[17]

• A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[18] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that

  

  They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.^[19]

• A single-term lower bound is^[20]

  

  where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.

• Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:^{[21][22]: 2–3}

  

  where

  

  This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.^[23]

  This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

  

• An approximation with a maximal error of 1.2×10⁻⁷ for any real argument is:^[24]

  

  with

  

  and

  

• An approximation of with a maximum relative error less than in absolute value is:^[25]

  for ,

  

  and for

  

Table of values[edit]

x	erf x	1 − erf x
0	0	1
0.02	0.022564575	0.977435425
0.04	0.045111106	0.954888894
0.06	0.067621594	0.932378406
0.08	0.090078126	0.909921874
0.1	0.112462916	0.887537084
0.2	0.222702589	0.777297411
0.3	0.328626759	0.671373241
0.4	0.428392355	0.571607645
0.5	0.520499878	0.479500122
0.6	0.603856091	0.396143909
0.7	0.677801194	0.322198806
0.8	0.742100965	0.257899035
0.9	0.796908212	0.203091788
1	0.842700793	0.157299207
1.1	0.880205070	0.119794930
1.2	0.910313978	0.089686022
1.3	0.934007945	0.065992055
1.4	0.952285120	0.047714880
1.5	0.966105146	0.033894854
1.6	0.976348383	0.023651617
1.7	0.983790459	0.016209541
1.8	0.989090502	0.010909498
1.9	0.992790429	0.007209571
2	0.995322265	0.004677735
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0.001862846
2.3	0.998856823	0.001143177
2.4	0.999311486	0.000688514
2.5	0.999593048	0.000406952
3	0.999977910	0.000022090
3.5	0.999999257	0.000000743

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

which also defines erfcx, the scaled complementary error function^[26] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow^[26][27]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:^[28]

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:^[29]

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow^[26]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages^{[citation needed]}, as they differ only by scaling and translation. Indeed,

or rearranged for erf and erfc:

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.^{[further explanation needed]}

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Some authors discuss the more general functions:^{[citation needed]}

Notable cases are:

• E₀(x) is a straight line through the origin: E₀(x) = x/e√π
• E₂(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the E_n for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the E_n for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by^[30]

The general recurrence formula is

They have the power series

from which follow the symmetry properties

and

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

• In POSIX-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.^[31]

• The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.^[32]

As complex function of a complex argument[edit]

• libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

See also[edit]

[edit]

• Gaussian integral, over the whole real line
• Gaussian function, derivative
• Dawson function, renormalized imaginary error function
• Goodwin–Staton integral

In probability[edit]

• Normal distribution
• Normal cumulative distribution function, a scaled and shifted form of error function
• Probit, the inverse or quantile function of the normal CDF
• Q-function, the tail probability of the normal distribution
• Standard score

References[edit]

Further reading[edit]

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. «Chapter 7». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Temme, Nico M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

External links[edit]

• A Table of Integrals of the Error Functions

Статистические гипотезы

Определение статистической гипотезы. Нулевая и альтернативная, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий, наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия нулевой гипотезы; критическая точка. Общая методика построения право-, лево- и двухсторонней критических областей

Понятие и определение статистической гипотезы

Проверка статистических гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров. В естествознании, технике, экономике для выяснения того или иного случайного факта часто прибегают к высказыванию гипотез, которые можно проверить статистически, т. е. опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Под статистическими подразумеваются такие гипотезы, которые относятся или к виду, или к отдельным параметрам распределения случайной величины. Например, статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых условиях, имеет нормальный закон распределения. Статистической будет также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются.

Статистическая гипотеза называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины , в противном случае гипотеза называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Если высказывается предположение, что случайная величина имеет нормальное распределение с дисперсией, равной единице, а математическое ожидание — число из отрезка , то это сложная гипотеза. Другим примером сложной гипотезы является предположение о том, что непрерывная случайная величина с вероятностью принимает значение из интервала , в этом случае распределение случайной величины может быть любым из класса непрерывных распределений.

Часто распределение величины известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы называются параметрическими.

Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается . Наряду с гипотезой рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез . Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра некоторому заданному значению , то есть , то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: где — заданное значение, . Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу , называется критерием . Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины , необходимо выбрать подходящую статистику, называемую в этом случае статистикой критерия . При проверке простой параметрической гипотезы в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра .

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, — достоверными; Этот принцип можно реализовать следующим образом. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости. Пусть — множество значений статистики , а — такое подмножество, что при условии истинности гипотезы вероятность попадания статистики критерия в равна , то есть .

Обозначим выборочное значение статистики , вычисленное по выборке наблюдений. Критерий формулируется так: отклонить гипотезу , если ; принять гипотезу , если . Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости, называют критерием значимости. Множество всех значений статистики критерия , при которых принимается решение отклонить гипотезу , называется критической областью; область называется областью принятия гипотезы .

Уровень значимости определяет размер критической области . Положение критической области на множестве значений статистики зависит от формулировки альтернативной гипотезы . Например, если проверяется гипотеза , а альтернативная гипотеза формулируется как , то критическая область размещается на правом (левом) «хвосте» распределения статистики , т. е. имеет вид неравенства , где — значения статистики , которые принимаются с вероятностями соответственно и при условии, что верна гипотеза . В этом случае критерий называется односторонним (соответственно правосторонним и левосторонним). Если альтернативная гипотеза формулируется как , то критическая область размещается на обоих «хвостах» распределения , то есть определяется совокупностью неравенств и в этом случае критерий называется двухсторонним.

Расположение критической области для различных альтернативных гипотез показано на рис. 30, где — плотность распределения статистики критерия при условии, что верна гипотеза , — область принятия гипотезы, .

Проверку параметрической статистической гипотезы с помощью критерия значимости можно разбить на этапы:

1) сформулировать проверяемую и альтернативную гипотезы;

2) назначить уровень значимости ;

3) выбрать статистику критерия для проверки гипотезы ;

4) определить выборочное распределение статистики при условии, что верна гипотеза ;

5) в зависимости от формулировки альтернативной гипотезы определить критическую область одним из неравенств или совокупностью неравенств и ;

6) получить выборку наблюдений и вычислить выборочные значения статистики критерия;

7) принять статистическое решение: если , то отклонить гипотезу как не согласующуюся с результатами наблюдений; если , то принять гипотезу , т. е. считать, что гипотеза не противоречит результатам наблюдений.

Обычно при выполнении пп. 4-7 используют статистику с нормальным распределением, статистику Стьюдента, Фишера.

---

Пример 3. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем, причем выборочное среднее расходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило 9,3 л. Предположим, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности со средним и дисперсией л². Используя критерий значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

Решение. Проверим гипотезу о среднем нормально распределенной генеральной совокупности. Проверку проведем по этапам:

1) проверяемая гипотеза ; альтернативная гипотеза ;

2) уровень значимости ;

3) в качестве статистики критерия используем статистику математического ожидания — выборочное среднее;

4) так как выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, выборочное среднее также имеет нормальное распределение с дисперсией . При условии, что верна гипотеза , математическое ожидание этого распределения равно 10. Нормированная статистика имеет нормальное распределение;

5) альтернативная гипотеза предполагает уменьшение расхода топлива, следовательно, нужно использовать односторонний критерий. Критическая область определяется неравенством . По прил. 5 находим ;

б) выборочное значение нормированной статистики критерия

7) статистическое решение: так как выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области, гипотеза отклоняется: следует считать, что изменение конструкции двигателя привело к уменьшению расхода топлива. Границу критической области для исходной статистики критерия можно получить из соотношения , откуда , т. е. критическая область для статистики определяется неравенством .

Ошибки первого и второго рода

Решение, принимаемое на основе критерия значимости, может быть ошибочным. Пусть выборочное значение статистики критерия попадает в критическую область, и гипотеза , отклоняется в соответствии с критерием. Если, тем не менее, гипотеза верна, то принимаемое решение неверно. Ошибка, совершаемая при отклонении правильной гипотезы if о, называется ошибкой первого рода. Вероятность ошибки первого рода равна вероятности попадания статистики критерия в критическую область при условии, что верна гипотеза , т. е. равна уровню значимости

Ошибка второго рода происходит тогда, когда гипотеза принимается, но в действительности верна гипотеза . Вероятность ошибки второго рода вычисляется по формуле

---

Пример 4. В условиях примера 3 предположим, что наряду с гипотезой л рассматривается альтернативная гипотеза л. В качестве статистики критерия снова возьмем выборочное среднее . Предположим, что критическая область задана неравенством л. Найти вероятности ошибок первого и второго рода для критерия с такой критической областью.

Решение. Найдем вероятность ошибки первого рода. Статистика критерия при условии, что верна гипотеза л, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 10, и дисперсией, равной . Используя прил. 5, по формуле (11.1) находим

Это означает, что принятый критерий классифицирует примерно 8% автомобилей, имеющих расход 10 л на 100 км пробега, как автомобили, имеющие меньший расход топлива. При условии, что верна гипотеза л, статистика имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 9, и дисперсией, равной . Вероятность ошибки второго рода найдем по формуле (11.2):

Следовательно, в соответствии с принятым критерием 13,6% автомобилей, имеющих расход топлива 9 л на 100 км пробега, классифицируются как автомобили, имеющие расход топлива 10 л.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

В математике функция ошибок — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение , определяется через функцию ошибок:

.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая w(x), также определяется через функцию ошибок:

.

Свойства

• Функция ошибок нечётна:

• Для любого комплексного x выполняется

где черта обозначает комплексное сопряжение числа x.

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x, так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

• Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

поскольку  — сомножитель, превращающий i-й член ряда в (i + 1)-й, считая первым членом x.

• Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

• При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.

• Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

• Обратная функция ошибок представляет собой ряд

где c₀ = 1 и

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

[1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Применение

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением σ, то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на a, равна .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших x полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

Хотя для любого конечного x этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

где

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым Φ(x)

Обратная функция к Φ, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

Обобщённые функции ошибок

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

Примечательными частными случаями являются:

После деления на n! все E_n с нечётными n выглядят похоже (но не идентично). Все E_n с чётными n тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на n!. Все обощённые функции ошибок с n > 0 выглядят похоже на полуоси x > 0.

На полуоси x > 0 все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

Их можно разложить в ряд:

откуда следуют свойства симметрии

и

Реализация

В стандартах языков Си и C++ функция ошибок и дополнительная функция ошибок отсутствуют в стандартной библиотеке. Однако в GCC (GNU Compilier Collection) эти функции реализованы как double erf(double x) и double erfc(double x). Функции находятся в заголовочных файлах math.h или cmath. Там же есть пары функций erff(),erfcf() и erfl(),erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.

В языке [2]. Класс Erf есть в пакете org.apache.commons.math.special от [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.

Matlab[4] и

В языке Special проекта scipy [5].

См. также

• Функция Гаусса

Литература

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)

Внешние ссылки

• MathWorld — Erf
• Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
• Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf