Гауссова функция ошибок

Error function
Plot of the error function
General information
General definition
Fields of application	Probability, thermodynamics
Domain, Codomain and Image
Domain
Image
Basic features
Parity	Odd
Specific features
Root	0
Derivative
Antiderivative
Series definition
Taylor series

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function), often denoted by erf, is a complex function of a complex variable defined as:^[1]

Some authors define without the factor of .^[2]
This nonelementary integral is a sigmoid function that occurs often in probability, statistics, and partial differential equations. In many of these applications, the function argument is a real number. If the function argument is real, then the function value is also real.

In statistics, for non-negative values of x, the error function has the following interpretation: for a random variable Y that is normally distributed with mean 0 and standard deviation 1/√2, erf x is the probability that Y falls in the range [−x, x].

Two closely related functions are the complementary error function (erfc) defined as

and the imaginary error function (erfi) defined as

where i is the imaginary unit.

Name[edit]

The name «error function» and its abbreviation erf were proposed by J. W. L. Glaisher in 1871 on account of its connection with «the theory of Probability, and notably the theory of Errors.»^[3] The error function complement was also discussed by Glaisher in a separate publication in the same year.^[4]
For the «law of facility» of errors whose density is given by

(the normal distribution), Glaisher calculates the probability of an error lying between p and q as:

Applications[edit]

When the results of a series of measurements are described by a normal distribution with standard deviation σ and expected value 0, then erf (a/σ √2) is the probability that the error of a single measurement lies between −a and +a, for positive a. This is useful, for example, in determining the bit error rate of a digital communication system.

The error and complementary error functions occur, for example, in solutions of the heat equation when boundary conditions are given by the Heaviside step function.

The error function and its approximations can be used to estimate results that hold with high probability or with low probability. Given a random variable X ~ Norm[μ,σ] (a normal distribution with mean μ and standard deviation σ) and a constant L < μ:

where A and B are certain numeric constants. If L is sufficiently far from the mean, specifically μ − L ≥ σ√ln k, then:

so the probability goes to 0 as k → ∞.

The probability for X being in the interval [L_a, L_b] can be derived as

Properties[edit]

The property erf (−z) = −erf z means that the error function is an odd function. This directly results from the fact that the integrand e^−t2 is an even function (the antiderivative of an even function which is zero at the origin is an odd function and vice versa).

Since the error function is an entire function which takes real numbers to real numbers, for any complex number z:

where z is the complex conjugate of z.

The integrand f = exp(−z²) and f = erf z are shown in the complex z-plane in the figures at right with domain coloring.

The error function at +∞ is exactly 1 (see Gaussian integral). At the real axis, erf z approaches unity at z → +∞ and −1 at z → −∞. At the imaginary axis, it tends to ±i∞.

Taylor series[edit]

The error function is an entire function; it has no singularities (except that at infinity) and its Taylor expansion always converges, but is famously known «[…] for its bad convergence if x > 1.»^[5]

The defining integral cannot be evaluated in closed form in terms of elementary functions (see Liouville’s theorem), but by expanding the integrand e^−z2 into its Maclaurin series and integrating term by term, one obtains the error function’s Maclaurin series as:

which holds for every complex number z. The denominator terms are sequence A007680 in the OEIS.

For iterative calculation of the above series, the following alternative formulation may be useful:

because −(2k − 1)z²/k(2k + 1) expresses the multiplier to turn the kth term into the (k + 1)th term (considering z as the first term).

The imaginary error function has a very similar Maclaurin series, which is:

which holds for every complex number z.

Derivative and integral[edit]

The derivative of the error function follows immediately from its definition:

From this, the derivative of the imaginary error function is also immediate:

An antiderivative of the error function, obtainable by integration by parts, is

An antiderivative of the imaginary error function, also obtainable by integration by parts, is

Higher order derivatives are given by

where H are the physicists’ Hermite polynomials.^[6]

Bürmann series[edit]

An expansion,^[7] which converges more rapidly for all real values of x than a Taylor expansion, is obtained by using Hans Heinrich Bürmann’s theorem:^[8]

where sgn is the sign function. By keeping only the first two coefficients and choosing c₁ = 31/200 and c₂ = −341/8000, the resulting approximation shows its largest relative error at x = ±1.3796, where it is less than 0.0036127:

Inverse functions[edit]

Given a complex number z, there is not a unique complex number w satisfying erf w = z, so a true inverse function would be multivalued. However, for −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf⁻¹ x satisfying

The inverse error function is usually defined with domain (−1,1), and it is restricted to this domain in many computer algebra systems. However, it can be extended to the disk |z| < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series^[9]

where c₀ = 1 and

So we have the series expansion (common factors have been canceled from numerators and denominators):

(After cancellation the numerator/denominator fractions are entries OEIS: A092676/OEIS: A092677 in the OEIS; without cancellation the numerator terms are given in entry OEIS: A002067.) The error function’s value at ±∞ is equal to ±1.

For |z| < 1, we have erf(erf⁻¹ z) = z.

The inverse complementary error function is defined as

For real x, there is a unique real number erfi⁻¹ x satisfying erfi(erfi⁻¹ x) = x. The inverse imaginary error function is defined as erfi⁻¹ x.^[10]

For any real x, Newton’s method can be used to compute erfi⁻¹ x, and for −1 ≤ x ≤ 1, the following Maclaurin series converges:

where c_k is defined as above.

Asymptotic expansion[edit]

A useful asymptotic expansion of the complementary error function (and therefore also of the error function) for large real x is

where (2n − 1)!! is the double factorial of (2n − 1), which is the product of all odd numbers up to (2n − 1). This series diverges for every finite x, and its meaning as asymptotic expansion is that for any integer N ≥ 1 one has

where the remainder is

which follows easily by induction, writing

and integrating by parts.

The asymptotic behavior of the remainder term, in Landau notation, is

as x → ∞. This can be found by

For large enough values of x, only the first few terms of this asymptotic expansion are needed to obtain a good approximation of erfc x (while for not too large values of x, the above Taylor expansion at 0 provides a very fast convergence).

Continued fraction expansion[edit]

A continued fraction expansion of the complementary error function is:^[11]

Integral of error function with Gaussian density function[edit]

which appears related to Ng and Geller, formula 13 in section 4.3^[12] with a change of variables.

Factorial series[edit]

The inverse factorial series:

converges for Re(z²) > 0. Here

zⁿ denotes the rising factorial, and s(n,k) denotes a signed Stirling number of the first kind.^[13][14]
There also exists a representation by an infinite sum containing the double factorial:

Numerical approximations[edit]

Approximation with elementary functions[edit]

• Abramowitz and Stegun give several approximations of varying accuracy (equations 7.1.25–28). This allows one to choose the fastest approximation suitable for a given application. In order of increasing accuracy, they are:

  

  (maximum error: 5×10⁻⁴)

  where a₁ = 0.278393, a₂ = 0.230389, a₃ = 0.000972, a₄ = 0.078108

  

  (maximum error: 2.5×10⁻⁵)

  where p = 0.47047, a₁ = 0.3480242, a₂ = −0.0958798, a₃ = 0.7478556

  

  (maximum error: 3×10⁻⁷)

  where a₁ = 0.0705230784, a₂ = 0.0422820123, a₃ = 0.0092705272, a₄ = 0.0001520143, a₅ = 0.0002765672, a₆ = 0.0000430638

  

  (maximum error: 1.5×10⁻⁷)

  where p = 0.3275911, a₁ = 0.254829592, a₂ = −0.284496736, a₃ = 1.421413741, a₄ = −1.453152027, a₅ = 1.061405429

  All of these approximations are valid for x ≥ 0. To use these approximations for negative x, use the fact that erf x is an odd function, so erf x = −erf(−x).

• Exponential bounds and a pure exponential approximation for the complementary error function are given by^[15]

  

• The above have been generalized to sums of N exponentials^[16] with increasing accuracy in terms of N so that erfc x can be accurately approximated or bounded by 2Q̃(√2x), where

  

  In particular, there is a systematic methodology to solve the numerical coefficients {(a_n,b_n)}^N
  _{n = 1} that yield a minimax approximation or bound for the closely related Q-function: Q(x) ≈ Q̃(x), Q(x) ≤ Q̃(x), or Q(x) ≥ Q̃(x) for x ≥ 0. The coefficients {(a_n,b_n)}^N
  _{n = 1} for many variations of the exponential approximations and bounds up to N = 25 have been released to open access as a comprehensive dataset.^[17]

• A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[18] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that

  

  They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.^[19]

• A single-term lower bound is^[20]

  

  where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.

• Another approximation is given by Sergei Winitzki using his «global Padé approximations»:^{[21][22]: 2–3}

  

  where

  

  This is designed to be very accurate in a neighborhood of 0 and a neighborhood of infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.^[23]

  This approximation can be inverted to obtain an approximation for the inverse error function:

  

• An approximation with a maximal error of 1.2×10⁻⁷ for any real argument is:^[24]

  

  with

  

  and

  

• An approximation of with a maximum relative error less than in absolute value is:^[25]

  for ,

  

  and for

  

Table of values[edit]

x	erf x	1 − erf x
0	0	1
0.02	0.022564575	0.977435425
0.04	0.045111106	0.954888894
0.06	0.067621594	0.932378406
0.08	0.090078126	0.909921874
0.1	0.112462916	0.887537084
0.2	0.222702589	0.777297411
0.3	0.328626759	0.671373241
0.4	0.428392355	0.571607645
0.5	0.520499878	0.479500122
0.6	0.603856091	0.396143909
0.7	0.677801194	0.322198806
0.8	0.742100965	0.257899035
0.9	0.796908212	0.203091788
1	0.842700793	0.157299207
1.1	0.880205070	0.119794930
1.2	0.910313978	0.089686022
1.3	0.934007945	0.065992055
1.4	0.952285120	0.047714880
1.5	0.966105146	0.033894854
1.6	0.976348383	0.023651617
1.7	0.983790459	0.016209541
1.8	0.989090502	0.010909498
1.9	0.992790429	0.007209571
2	0.995322265	0.004677735
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0.001862846
2.3	0.998856823	0.001143177
2.4	0.999311486	0.000688514
2.5	0.999593048	0.000406952
3	0.999977910	0.000022090
3.5	0.999999257	0.000000743

[edit]

Complementary error function[edit]

The complementary error function, denoted erfc, is defined as

which also defines erfcx, the scaled complementary error function^[26] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow^[26][27]). Another form of erfc x for x ≥ 0 is known as Craig’s formula, after its discoverer:^[28]

This expression is valid only for positive values of x, but it can be used in conjunction with erfc x = 2 − erfc(−x) to obtain erfc(x) for negative values. This form is advantageous in that the range of integration is fixed and finite. An extension of this expression for the erfc of the sum of two non-negative variables is as follows:^[29]

Imaginary error function[edit]

The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow^[26]).

Despite the name «imaginary error function», erfi x is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

Cumulative distribution function[edit]

The error function is essentially identical to the standard normal cumulative distribution function, denoted Φ, also named norm(x) by some software languages^{[citation needed]}, as they differ only by scaling and translation. Indeed,

or rearranged for erf and erfc:

Consequently, the error function is also closely related to the Q-function, which is the tail probability of the standard normal distribution. The Q-function can be expressed in terms of the error function as

The inverse of Φ is known as the normal quantile function, or probit function and may be expressed in terms of the inverse error function as

The standard normal cdf is used more often in probability and statistics, and the error function is used more often in other branches of mathematics.

The error function is a special case of the Mittag-Leffler function, and can also be expressed as a confluent hypergeometric function (Kummer’s function):

It has a simple expression in terms of the Fresnel integral.^{[further explanation needed]}

In terms of the regularized gamma function P and the incomplete gamma function,

sgn x is the sign function.

Generalized error functions[edit]

Some authors discuss the more general functions:^{[citation needed]}

Notable cases are:

• E₀(x) is a straight line through the origin: E₀(x) = x/e√π
• E₂(x) is the error function, erf x.

After division by n!, all the E_n for odd n look similar (but not identical) to each other. Similarly, the E_n for even n look similar (but not identical) to each other after a simple division by n!. All generalised error functions for n > 0 look similar on the positive x side of the graph.

These generalised functions can equivalently be expressed for x > 0 using the gamma function and incomplete gamma function:

Therefore, we can define the error function in terms of the incomplete gamma function:

Iterated integrals of the complementary error function[edit]

The iterated integrals of the complementary error function are defined by^[30]

The general recurrence formula is

They have the power series

from which follow the symmetry properties

and

Implementations[edit]

As real function of a real argument[edit]

• In POSIX-compliant operating systems, the header math.h shall declare and the mathematical library libm shall provide the functions erf and erfc (double precision) as well as their single precision and extended precision counterparts erff, erfl and erfcf, erfcl.^[31]

• The GNU Scientific Library provides erf, erfc, log(erf), and scaled error functions.^[32]

As complex function of a complex argument[edit]

• libcerf, numeric C library for complex error functions, provides the complex functions cerf, cerfc, cerfcx and the real functions erfi, erfcx with approximately 13–14 digits precision, based on the Faddeeva function as implemented in the MIT Faddeeva Package

See also[edit]

[edit]

• Gaussian integral, over the whole real line
• Gaussian function, derivative
• Dawson function, renormalized imaginary error function
• Goodwin–Staton integral

In probability[edit]

• Normal distribution
• Normal cumulative distribution function, a scaled and shifted form of error function
• Probit, the inverse or quantile function of the normal CDF
• Q-function, the tail probability of the normal distribution
• Standard score

References[edit]

Further reading[edit]

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. «Chapter 7». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), «Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Temme, Nico M. (2010), «Error Functions, Dawson’s and Fresnel Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

External links[edit]

• A Table of Integrals of the Error Functions

График функции

В математике функция ошибок (также называемая Функция ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf, является сложной функцией комплексной определяемой как:

erf ⁡ z = 2 π ∫ 0 ze — t 2 dt. {\ displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} \, dt.}

Этот интеграл является особой (не элементарной ) и сигмоидной функцией, которая часто встречается в статистике вероятность, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция имеет интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена с среднее 0 и дисперсия 1/2, erf x — это вероятность того, что Y попадает в диапазон [-x, x].

Две связанные функции: дополнительные функции ошибок (erfc ), определенная как

erfc ⁡ z = 1 — erf ⁡ z, {\ displaystyle \ operatorname {erfc} z = 1- \ operatorname {erf} z,}

и функция мнимой ошибки (erfi ), определяемая как

erfi ⁡ z = — i erf ⁡ (iz), {\ displaystyle \ operatorname {erfi} z = -i \ operatorname {erf} (iz),}

, где i — мнимая единица.

Содержание

• 1 Имя
• 2 Приложения
• 3 Свойства
  • 3.1 Ряд Тейлора
  • 3.2 Производная и интеграл
  • 3.3 Ряд Бюрмана
  • 3.4 Обратные функции
  • 3.5 Асимптотическое разложение
  • 3.6 Разложение на непрерывную дробь
  • 3,7 Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса
  • 3.8 Факториальный ряд
• 4 Численные приближения
  • 4.1 Аппроксимация с элементарными функциями
  • 4.2 Полином
  • 4.3 Таблица значений
• 5 Связанные функции
  • 5.1 функция дополнительных ошибок
  • 5.2 Функция мнимой ошибки
  • 5.3 Кумулятивная функци я распределения на
  • 5.4 Обобщенные функции ошибок
  • 5.5 Итерированные интегралы дополнительных функций ошибок
• 6 Реализации
  • 6.1 Как действующая функция действительного аргумента
  • 6.2 Как комплексная функция комплексного аргумента
• 7 См. Также
  • 7.1 Связанные функции
  • 7.2 Вероятность
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Имя

Название «функция ошибки» и его аббревиатура erf были предложены Дж. В. Л. Глейшер в 1871 г. по причине его связи с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок плотность задана как

f (x) = (c π) 1 2 e — cx 2 {\ displaystyle f (x) = \ left ({\ frac {c } {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}

(нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p {\ displaystyle p}и q {\ displaystyle q}как:

(c π) 1 2 ∫ pqe — cx 2 dx = 1 2 (erf ⁡ (qc) — erf ⁡ (pc)). {\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ operatorname {erf} (q {\ sqrt {c}}) — \ operatorname {erf} (p {\ sqrt {c}}) \ right).}

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ {\ displaystyle \ sigma}и ожидаемое значение 0, затем erf ⁡ (a σ 2) {\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {a} {\ sigma {\ sqrt {2}) }}} \ right)}— это вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между −a и + a, для положительного a. Это полезно, например, при определении коэффициента битовых ошибок цифровой системы связи.

Функции и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные ошибки задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда.

Функция ошибок и ее приближения Программу присвоили себе преподавателей, которые получили с высокой вероятностью или с низкой вероятностью. Дана случайная величина X ∼ Norm ⁡ [μ, σ] {\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Norm} [\ mu, \ sigma]}и константа L < μ {\displaystyle L<\mu }:

Pr [X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf ⁡ (L — μ 2 σ) ≈ A ехр (- B (L — μ σ) 2) {\ Displaystyle \ Pr [X \ Leq L] = {\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {L- \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right) \ приблизительно A \ exp \ left (-B \ left ({\ frac {L- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right)}

где A и B — верх числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, то есть μ — L ≥ σ ln ⁡ k {\ displaystyle \ mu -L \ geq \ sigma {\ sqrt {\ ln {k}}}}, то:

Pr [X ≤ L] ≤ A exp ⁡ (- B ln ⁡ k) = A К B {\ displaystyle \ Pr [X \ leq L] \ leq A \ exp (-B \ ln {k}) = {\ frac {A} {k ^ {B}}}}

, поэтому становится вероятность 0 при k → ∞ {\ displaystyle k \ to \ infty}.

Свойства

Графики на комплексной плоскости Интегрируем exp (-z) erf (z)

Свойство erf ⁡ (- z) = — erf ⁡ (z) {\ displaystyle \ operatorname {erf} (-z) = — \ operatorname {erf} (z)}означает, что функция является ошибкой нечетной функции. Это связано с тем, что подынтегральное выражение e — t 2 {\ displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}является четной функцией.

Для любого комплексное число z:

erf ⁡ (z ¯) = erf ⁡ (z) ¯ {\ displaystyle \ operatorname {erf} ({\ overline {z}}) = {\ overline {\ operatorname {erf} (z)}}}

где z ¯ {\ displaystyle {\ overline {z}}}— комплексное сопряжение число z.

Подынтегральное выражение f = exp (−z) и f = erf (z) показано в комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im (f) = 0 показан жирным зеленым цветом. линия. Отрицательные целые значения Im (f) показаны жирными красными линиями. Положительные целые значения Im (f) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (f) = проявляются тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (f) = показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf (z) стремится к единице при z → + ∞ и к −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i∞.

Серия Тейлора

Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] его плохая сходимость, если x>1».

определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытой форме в терминах элементарных функций, но путем расширения подынтегрального выражения e в его ряд Маклорена и интегрирована почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (- 1) nz 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z — z 3 3 + z 5 10 — z 7 42 + z 9 216 — ⋯) {\ displaystyle \ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} { \ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z — {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ { 5}} {10}} — {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac {z ^ {9}} {216}} — \ cdots \ right)}

, которое выполняется для каждого комплексного числа г. Члены знаменателя представляют собой последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления нового ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (z ∏ К знак равно 1 N — (2 К — 1) Z 2 К (2 К + 1)) знак равно 2 π ∑ N = 0 ∞ Z 2 N + 1 ∏ К = 1 N — Z 2 К {\ Displaystyle \ OperatorName { erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (z \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} \ right) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z} {2n + 1}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {-z ^ {2}} {k}}}

потому что что — (2 k — 1) z 2 k (2 k + 1) {\ displaystyle {\ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} }выражает множитель для превращения члена k в член (k + 1) (рассматривая z как первый член).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена:

erfi ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z + z 3 3 + z 5 10 + z 7 42 + z 9 216 + ⋯) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} (z) = {\ frac {2} { \ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z + {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ { 5}} {10}} + {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac {z ^ {9}} {216}} + \ cdots \ right)}

, которое выполняется для любого комплексного числа z.

Производная и интеграл

Производная функция ошибок сразу следует из ее определения:

ddz erf ⁡ (z) = 2 π e — z 2. {\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}

Отсюда немедленно вычисляется производная функция мнимой ошибки :

ddz erfi ⁡ (z) = 2 π ez 2. {\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erfi} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi }}} e ^ {z ^ {2}}.}

первообразная функции ошибок, которые можно получить посредством интегрирования по частям, составляет

z erf ⁡ (z) + е — z 2 π. {\ displaystyle z \ operatorname {erf} (z) + {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}

Первообразная мнимой функции ошибок, также можно получить интегрированием по частям:

z erfi ⁡ (z) — ez 2 π. {\ displaystyle z \ operatorname {erfi} (z) — {\ frac {e ^ {z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}

Производные высшего порядка задаются как

erf (k) ⁡ (z) = 2 (- 1) k — 1 π H k — 1 (z) e — z 2 = 2 π dk — 1 dzk — 1 (e — z 2), k = 1, 2, … {\ Displaystyle \ operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = {\ frac {2 (-1) ^ {k-1}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ mathit {H} } _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} \ left (e ^ {- z ^ {2}} \ right), \ qquad k = 1,2, \ dots}

где H {\ displaystyle {\ mathit {H}}}— физики многочлены Эрмита.

ряд Бюрмана

Расширение, которое сходится быстрее для всех реальных значений x {\ displaystyle x}, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

erf ⁡ (x) = 2 π sgn ⁡ (x) 1 — e — x 2 (1 — 1 12 ( 1 — e — x 2) — 7 480 (1 — e — x 2) 2 — 5 896 (1 — e — x 2) 3 — 787 276480 (1 — e — x 2)) 4 — ⋯) знак равно 2 π знак ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + ∑ k = 1 ∞ cke — kx 2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} \ left (1 — {\ frac {1} {12}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) — {\ frac {7} {480}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {2} — {\ frac {5} {896}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2 }} \ right) ^ {3} — {\ frac {787} {276480}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {4} — \ cdots \ right) \\ [10pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} \ left ({ \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} \ right). \ end {выровнено}}

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c 1 = 31 200 {\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {31} {200}}}и c 2 = — 341 8000, {\ displaystyle c_ {2} = — {\ frac {341} {8000}},}результирующая аппроксимация дает наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796, {\ displaystyle x = \ pm 1,3796,}, где оно меньше 3,6127 ⋅ 10 — 3 {\ displaystyle 3.6127 \ cdot 10 ^ {- 3}}:

erf ⁡ (x) ≈ 2 π sign ⁡ (x) 1 — e — x 2 (π 2 + 31 200 e — x 2 — 341 8000 e — 2 х 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + {\ frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} — {\ frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} \ right).}

Обратные функции

Обратная функция

Учитывая комплексное число z, не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf ⁡ (w) = z {\ displaystyle \ operatorname {erf} (w) = z}, поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1, there is a unique real number denoted erf — 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (x)}, удовлетворяющего

erf ⁡ (erf — 1 ⁡ ( х)) = х. {\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left (\ operatorname {erf} ^ {- 1} (x) \ right) = x.}

Обратная функция ошибок обычно определяется с помощью домена (- 1,1), и он ограничен этой областью многих систем компьютерной алгебры. Однако его можно продолжить и на диск | z | < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series

erf — 1 ⁡ (z) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ ck 2 k + 1 (π 2 z) 2 k + 1, {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1},}

где c 0 = 1 и

ck = ∑ m = 0 k — 1 cmck — 1 — m (m + 1) (2 m + 1) = {1, 1, 7 6, 127 90, 4369 2520, 34807 16200,…}. {\ displaystyle c_ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k-1} {\ frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = \ left \ {1,1, {\ frac {7} {6}}, {\ frac {127} {90}}, {\ frac {4369} {2520}}, {\ frac {34807} {16200}}, \ ldots \ right \}.}

Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители были удалены из числителей и знаменателей):

erf — 1 ⁡ (z) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯). {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}} \ left (z + {\ frac {\ pi} {12} } z ^ {3} + {\ frac {7 \ pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + {\ frac {127 \ pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + {\ frac {4369 \ pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + {\ frac {34807 \ pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + \ cdots \ right). }

(После отмены дроби числителя / знаменателя характерми OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены членов числителя в записи OEIS : A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

Для | z | < 1, we have erf ⁡ (erf — 1 ⁡ (z)) = z {\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left (\ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) \ right) = z}.

обратная дополнительная функция ошибок определяется как

erfc — 1 ⁡ (1 — z) = erf — 1 ⁡ (z). {\ displaystyle \ operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z).}

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi — 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}удовлетворяет erfi ⁡ (erfi — 1 ⁡ (x)) = x {\ displaystyle \ operatorname { erfi} \ left (\ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) \ right) = x}. функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi — 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}.

Для любого действительного x, Метод Ньютона можно использовать для вычислений erfi — 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}, а для — 1 ≤ x ≤ 1 {\ displaystyle -1 \ leq x \ leq 1}, сходится следующий ряд Маклорена:

erfi — 1 ⁡ (z) = ∑ k = 0 ∞ (- 1) ККК 2 К + 1 (π 2 Z) 2 К + 1, {\ Displaystyle \ OperatorName {erfi} ^ {- 1} (г) = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1},}

, где c k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезным асимптотическим разложением дополнительные функции (и, следовательно, также и функции ошибок) для больших вещественных x

erfc ⁡ (x) = e — x 2 x π [1 + ∑ n = 1 ∞ (- 1) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ (2 n — 1) (2 x 2) n] = e — x 2 x π ∑ n = 0 ∞ (- 1) п (2 п — 1)! ! (2 х 2) n, {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} \ right] = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}

где (2n — 1) !! — это двойной факториал числа (2n — 1), которое является произведением всех нечетных чисел до (2n — 1). Этот ряд расходуется для любого конечного x, и его значение как асимптотического разложения состоит в том, что для любого N ∈ N {\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}имеется

erfc ⁡ (Икс) знак равно е — Икс 2 Икс π ∑ N знак равно 0 N — 1 (- 1) N (2 N — 1)! ! (2 х 2) n + RN (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}

где остаток в нотации Ландау равен

RN (x) = O (x 1 — 2 N e — x 2) {\ displaystyle R_ {N} ( x) = O \ left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} \ right)}

при x → ∞. {\ displaystyle x \ to \ infty.}

Действительно, точное значение остатка равно

R N (x): = (- 1) N π 2 1 — 2 N (2 N)! N! ∫ Икс ∞ T — 2 N e — T 2 dt, {\ Displaystyle R_ {N} (x): = {\ frac {(-1) ^ {N}} {\ sqrt {\ pi}}} 2 ^ { 1-2N} {\ frac {(2N)!} {N!}} \ Int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} \, dt,}

который легко следует по индукции, записывая

e — t 2 = — (2 t) — 1 (e — t 2) ′ {\ displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = — (2t) ^ {- 1} \ left (e ^ {- t ^ {2}} \ right) ‘}

и интегрирование по частям.

Для достаточно больших значений x, только первые несколько этих асимптотических разностей необходимы, чтобы получить хорошее приближение erfc (x) (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Расширение непрерывной дроби

A Разложение непрерывной дроби дополнительные функции ошибок:

erfc ⁡ (z) = z π e — z 2 1 z 2 + a 1 1 + a 2 z 2 + a 3 1 + ⋯ am = м 2. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (z) = {\ frac {z} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} {\ cfrac {1} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_ {1}} {1 + {\ cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {1+) \ dotsb}}}}}}}} \ qquad a_ {m} = {\ frac {m} {2}}.}

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

∫ — ∞ ∞ erf ⁡ (ax + б) 1 2 π σ 2 е — (Икс — μ) 2 2 σ 2 dx знак равно erf ⁡ [a μ + b 1 + 2 a 2 σ 2], a, b, μ, σ ∈ R {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {erf} \ left (ax + b \ right) {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \, dx = \ operatorname {erf} \ left [{\ frac {a \ mu + b } {\ sqrt {1 + 2a ^ {2} \ sigma ^ {2}}} \ right], \ qquad a, b, \ mu, \ sigma \ in \ mathbb {R}}

Факториальный ряд

• Обратное:

erfc ⁡ z = e — z 2 π z ∑ n = 0 ∞ (- 1) n Q n (z 2 + 1) n ¯ = e — z 2 π z (1 — 1 2 1 (z 2 + 1) + 1 4 1 (z 2 + 1) (z 2 + 2) — ⋯) {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} z = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} + 1)} ^ {\ ba r {n}}}} \\ = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z}} \ left ( 1 — {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)}} — \ cdots \ right) \ end {align}}}

сходится для Re ⁡ (z 2)>0. {\ displaystyle \ operatorname {Re} (z ^ {2})>0.}Здесь

Q n = def 1 Γ (1/2) ∫ 0 ∞ τ (τ — 1) ⋯ ( τ — n + 1) τ — 1/2 е — τ d τ знак равно ∑ К знак равно 0 N (1 2) к ¯ s (n, k), {\ displaystyle Q_ {n} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {1} {\ Gamma (1/2)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ tau (\ tau -1) \ cdots (\ tau -n + 1) \ tau ^ {-1/2} e ^ {- \ tau} d \ tau = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {\ bar {k}} s (n, k),}

zn ¯ {\ displaystyle z ^ {\ bar {n}}}обозначает возрастающий факториал, а s (n, k) {\ displaystyle s (n, k)}обозначает знаковое число Стирлинга первого рода.

• Представление бесконечной суммой, составляющей двойной факториал :

ERF ⁡ (Z) знак равно 2 π ∑ N знак равно 0 ∞ (- 2) N (2 N — 1)! (2 N + 1)! Z 2 N + 1 {\ Displaystyle \ OperatorName {ERF} (г) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -2) ^ {n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}

Численные приближения

Приближение элементов сарными функциями

• Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности они следующие:

erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4) 4, x ≥ 0 {\ displaystyle \ имя оператора {erf} (x) \ приблизительно 1 — {\ frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ { 4} x ^ {4}) ^ {4}}}, \ qquad x \ geq 0}

(максимальная ошибка: 5 × 10)

, где a 1 = 0,278393, a 2 = 0,230389, a 3 = 0,000972, a 4 = 0,078108

erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3) e — x 2, t = 1 1 + px, x ≥ 0 {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}, \ qquad x \ geq 0}(максимальная ошибка: 2,5 × 10)

где p = 0,47047, a 1 = 0,3480242, a 2 = -0,0958798, a 3 = 0,7478556

erf ⁡ (x) ≈ 1 — 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a 6 x 6) 16, x ≥ 0 {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1 — {\ frac {1} {(1 + a_ {1} x + a _ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, \ qquad x \ geq 0}(максимальная ошибка: 3 × 10)

, где a 1 = 0,0705230784, a 2 = 0,0422820123, a 3 = 0,0092705272, a 4 = 0,0001520143, a 5 = 0,0002765672, a 6 = 0,0000430638

erf ⁡ (x) ≈ 1 — (a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a 5 t 5) e — x 2, t = 1 1 + px {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + \ cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}}(максимальная ошибка: 1,5 × 10)

, где p = 0,3275911, a 1 = 0,254829592, a 2 = −0,284496736, a 3 = 1,421413741, a 4 = −1,453152027, a 5 = 1,061405429

Все эти приближения действительны для x ≥ 0 Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x, викорируйте тот факт, что erf (x) — нечетная функция, поэтому erf (x) = −erf (−x).

• Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительных функций задаются как

erfc ⁡ (x) ≤ 1 2 e — 2 x 2 + 1 2 e — x 2 ≤ e — x 2, x>0 erfc ⁡ ( х) ≈ 1 6 е — х 2 + 1 2 е — 4 3 х 2, х>0. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} (x) \ leq {\ frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + {\ frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} \ leq e ^ {- x ^ {2}}, \ qquad x>0 \\\ имя оператора {erfc} (x) \ приблизительно {\ frac {1} { 6}} e ^ {- x ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} e ^ {- {\ frac {4} {3}} x ^ {2}}, \ qquad x>0. \ end {align}}}

erfc ⁡ (x) ≈ (1 — e — A x) e — x 2 B π х. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} \ left (x \ right) \ приблизительно {\ frac {\ left (1-e ^ {- Ax} \ right) e ^ {- x ^ {2}}} {B {\ sqrt {\ pi}} x}}.}

Они определили {A, B} = {1.98, 1.135}, {\ displaystyle \ {A, B \} = \ {1.98,1.135 \ },}, что дает хорошее приближение для всех x ≥ 0. {\ displaystyle x \ geq 0.}

• Одноканальная нижняя граница:

erfc ⁡ (x) ≥ 2 e π β — 1 β е — β Икс 2, Икс ≥ 0, β>1, {\ Displaystyle \ OperatorName {erfc} (x) \ geq {\ sqrt {\ frac {2e} {\ pi}}} {\ frac {\ sqrt {\ beta -1}} {\ beta}} e ^ {- \ beta x ^ {2}}, \ qquad x \ geq 0, \ beta>1,}

где параметр β может быть выбран, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале приближения.

• Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:

erf ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) 1 — exp ⁡ (- x 2 4 π + ax 2 1 + ax 2) { \ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно \ Operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1- \ exp \ left (-x ^ {2} {\ frac {{\ frac {4} {\ pi) })} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} \ right)}}}

где

a = 8 (π — 3) 3 π (4 — π) ≈ 0, 140012. {\ displaystyle a = {\ frac {8 (\ pi -3)} {3 \ pi (4- \ pi)}} \ приблизительно 0,140012.}

Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестностях 0 и добавление бесконечности, а относительная погрешность меньше 0,00035 для всех действительных x. Использование альтернативного значения ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для других функций ошибок:

erf — 1 ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2) 2 — ln ⁡ (1 — x 2) a — (2 π a + ln ⁡ (1 — x 2) 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (x) \ приблизительно \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {{\ sqrt {\ left ({\ frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {2}} \ right) ^ {2} — {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {a}}}} — \ left ({\ frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {2}} \ right)}}.}

Многочлен

Приближение с максимальной ошибкой 1,2 × 10-7 {\ displaystyle 1,2 \ times 10 ^ {- 7}}для любого действительного аргумента:

erf ⁡ ( x) = {1 — τ x ≥ 0 τ — 1 x < 0 {\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\begin{cases}1-\tau x\geq 0\\\tau -1x<0\end{cases}}}

с

τ = t ⋅ exp ⁡ (- x 2 — 1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196 t 2 + 0,09678418 t 3 — 0,18628806 t 4 + 0,27886807 t 5 — 1,13520398 t 6 + 1,48851587 t 7 — 0,82215223 t 8 + 0,17087277 t 9) {\ displaystyle {\ begin {align} \ tau = t \ cdot \ exp \ left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} \ вправо. \\ \ left. \ qquad \ qquad \ qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087 277t ^ {9} \ right) \ end {align}}}

и

t = 1 1 + 0,5 | х |. {\ displaystyle t = {\ frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.}

Таблица значений

x	erf(x)	1-erf (x)
0	0	1
0,02	0,022564575	0,977435425
0,04	0,045111106	0,954888894
0,06	0,067621594	0, 932378406
0,08	0.090078126	0,909921874
0,1	0,112462916	0,887537084
0,2	0,222702589	0,777297411
0,3	0,328626759	0,671373241
0, 4	0,428392355	0,571607645
0,5	0,520499878	0,479500122
0,6	0.603856091	0,396143909
0,7	0,677801194	0,322198806
0,8 257>	0,742100965	0,257899035
0,9	0,796908212	0,203091788
1	0,842700793	0, 157299207
1,1	0,88020507	0,11979493
1,2	0,910313978	0,089686022
1,3	0,934007945	0,065992055
1,4	0.95228512	0,04771488
1,5	0, 966105146	0,033894854
1,6	0,976348383	0,023651617
1,7	0,983790459	0,016209541
1,8	0,989090502	0,010909498
1,9	0,992790429	0,007209571
2	0,995322265<25767>	0,00477
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0,001862846
2,3	0,998856823	0,001143177
2,4	0,999311486	0,000688514
2,5	0.999593048	0.000406952
3	0.99997791	0,00002209
3,5	0,999999257	0,000000743

Связанные функции

Дополнительная функция

дополнительная функция ошибок, обозначается erfc {\ displaystyle \ mathrm {erfc}}, определяется как

erfc ⁡ (x) = 1 — erf ⁡ (x) = 2 π ∫ x ∞ e — t 2 dt знак равно е — Икс 2 erfcx ⁡ (х), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ OperatorName {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x) \\ [5p t] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} \ operatorname {erfcx} (x), \ end {align}}}

, который также определяет erfcx {\ displaystyle \ mathrm {erfcx} }, масштабированная дополнительная функция ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Известна другая форма erfc ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}для неотрицательного x {\ displaystyle x}как формула Крейга после ее первооткрывателя:

erfc ⁡ (x ∣ x ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 exp ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ) d θ. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x \ mid x \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}

Это выражение действительно только для положительных значений x, но его можно использовать вместе с erfc (x) = 2 — erfc (−x), чтобы получить erfc (x) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc {\ displaystyle \ mathrm {erfc}}суммы двух неотрицательных чисел следующим образом:

erfc ⁡ (x + y ∣ x, y ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 ехр ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ — y 2 cos 2 ⁡ θ) d θ. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x + y \ mid x, y \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} — {\ frac {y ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}

Функция мнимой ошибки

мнимой ошибки, обозначаемая erfi, обозначает ошибки как

erfi ⁡ (x) = — i erf ⁡ (ix) Знак равно 2 π ∫ 0 xet 2 dt знак равно 2 π ex 2 D (x), {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfi} (x) = — i \ operatorname {erf} (ix) \\ [ 5pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), \ end {align}}}

где D (x) — функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», erfi ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} (x)}реально, когда x действительно.

Функция Когда ошибки оценивается для произвольных сложных аргументов z, результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

w (z) = e — z 2 erfc ⁡ (- iz) = erfcx ⁡ (- iz). {\ displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} \ operatorname {erfc} (-iz) = \ operatorname {erfcx} (-iz).}

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существующей стандартной стандартной функции нормального кумулятивного распределения, обозначаемой нормой (x) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

Φ (x) = 1 2 π ∫ — ∞ xe — t 2 2 dt = 1 2 [1 + erf ⁡ (x 2)] = 1 2 erfc ⁡ (- x 2) {\ displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {\ tfrac {-t ^ {2}} {2}} \, dt = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right] = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left (- {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right)}

или переставлен для erf и erfc:

erf ⁡ ( x) = 2 Φ (x 2) — 1 erfc ⁡ (x) = 2 Φ (- x 2) = 2 (1 — Φ (x 2)). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} (x) = 2 \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) -1 \\\ operatorname {erfc} (x) = 2 \ Phi \ left (-x {\ sqrt {2}} \ right) = 2 \ left (1- \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) \ right). \ End {выравнивается} }}

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией, которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

Q (x) = 1 2 — 1 2 erf ⁡ (x 2) = 1 2 erfc ⁡ (x 2). {\ displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {2}} — {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}) } \ right) = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right).}

Обратное значение из Φ {\ displaystyle \ Phi}известен как функция нормальной квантиля или функция пробит и может быть выражена в терминах обратная функция ошибок как

пробит ⁡ (p) = Φ — 1 (p) = 2 erf — 1 ⁡ (2 p — 1) = — 2 erfc — 1 ⁡ (2 p). {\ displaystyle \ operatorname {probit} (p) = \ Phi ^ {- 1} (p) = {\ sqrt {2}} \ operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = — {\ sqrt {2}} \ operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятности и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибки является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и может также быть выражена как сливающаяся гипергеометрическая функция (функция Куммера):

erf ⁡ (х) знак равно 2 х π M (1 2, 3 2, — х 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} M \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {2 }}, — x ^ {2} \ right).}

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля.

В терминах регуляризованной гамма-функции P и неполная гамма-функция,

erf ⁡ (x) = sgn ⁡ (x) P (1 2, x 2) = sgn ⁡ (x) π γ (1 2, x 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = \ operatorname {sgn} (x) P \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right) = {\ frac {\ operatorname {sgn} (x)} {\ sqrt {\ pi}}} \ gamma \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right).}

sgn ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}— знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E n (x):. серая кривая: E 1 (x) = (1 — e) /

π {\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {\ pi}}}

. красная кривая: E 2 (x) = erf (x). зеленая кривая: E 3 (x). синяя кривая: E 4 (x). золотая кривая: E 5 (x).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

E n (x) = n! π ∫ 0 Икс е — Т N д т знак равно N! π ∑ п знак равно 0 ∞ (- 1) п Икс N п + 1 (N п + 1) п!. {\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} \, dt = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {p} {\ frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}

Примечательные случаи:

• E0(x) — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 (x) = xe π {\ displaystyle \ textstyle E_ {0} (x) = {\ dfrac {x} {e {\ sqrt {\ pi}}}}}
• E2(x) — функция, erf (x) ошибки.

После деления на n!, все E n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга. Аналогично, E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n!. Все обобщенные функции ошибок для n>0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x>0 с помощью гамма-функции и неполной гамма-функции :

E n (x) = 1 π Γ (n) (Γ (1 n) — Γ (1 n, xn)), x>0. {\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ Gamma (n) \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) — \ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}}, x ^ {n} \ right) \ right), \ quad \ quad x>0.}

Следовательно, мы можем определить ошибку функция в терминах неполной гамма-функции:

erf ⁡ (x) = 1 — 1 π Γ (1 2, x 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = 1 — {\ frac {1} { \ sqrt {\ pi}}} \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right).}

Итерированные интегралы дополнительных функций

Повторные интегралы дополнительные функции ошибок определения как

inerfc ⁡ (z) = ∫ z ∞ in — 1 erfc ⁡ (ζ) d ζ i 0 erfc ⁡ (z) = erfc ⁡ (z) i 1 erfc ⁡ (z) = ierfc ⁡ (z) знак равно 1 π е — z 2 — z erfc ⁡ (z) я 2 erfc ⁡ (z) = 1 4 [erfc ⁡ (z) — 2 z ierfc ⁡ (z)] {\ displaystyle {\ begin {align } \ operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = \ int _ {z} ^ {\ infty} \ operatorname {i ^ {n-1} erfc} (\ zeta) \, d \ zeta \\\ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = \ operatorname {erfc} (z) \\\ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = \ operat orname {ierfc} (z) = {\ frac { 1} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} — z \ operatorname {erfc} (z) \\\ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = {\ frac {1} {4}} \ left [\ operatorname {erfc} (z) -2z \ operatorname {ierfc} (z) \ right] \\\ end {выровнено}}

Общая рекуррентная формула:

2 ninerfc ⁡ (z) = in — 2 erfc ⁡ (z) — 2 цинк — 1 erfc ⁡ (z) {\ displaystyle 2n \ operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = \ operatorname {i ^ { n-2} erfc} (z) -2z \ operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z)}

У них есть степенной ряд

в erfc ⁡ (z) = ∑ j = 0 ∞ (- Z) J 2 N — JJ! Γ (1 + N — J 2), {\ displaystyle i ^ {n} \ operatorname {erfc} (z) = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ { j}} {2 ^ {nj} j! \ Gamma \ left (1 + {\ frac {nj} {2}} \ right)}},}

из следуют свойства симметрии

i 2 m ERFC ⁡ (- Z) знак равно — я 2 m ERFC ⁡ (Z) + ∑ Q знак равно 0 мZ 2 д 2 2 (м — д) — 1 (2 д)! (м — д)! {\ displaystyle i ^ {2m} \ operatorname {erfc} (-z) = — i ^ {2m} \ operatorname {erfc} (z) + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}}

и

i 2 m + 1 erfc ⁡ (- z) = i 2 m + 1 erfc ⁡ (г) + ∑ ä знак равно 0 ìZ 2 ä + 1 2 2 ( м — д) — 1 (2 д + 1)! (м — д)!. {\ displaystyle i ^ {2m + 1} \ operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} \ operatorname {erfc} (z) + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ гидроразрыва {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}

Реализации

Как действительная функция вещественного аргумента

• В операционных системах, совместимых с Posix, заголовок math.h должен являть, а математическая библиотека libm должна быть функция erf и erfc (двойная точность ), а также их одинарная точность и расширенная точность аналоги erff, erfl и erfc, erfcl.
• Библиотека GNU Scientific предоставляет функции erf, erfc, log (erf) и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция комплексного аргумента

• libcerf, числовая библиотека C для сложных функций, предоставляет комплексные функции cerf, cerfc, cerfcx и реальные функции erfi, erfcx с точностью 13–14 цифр на основе функции Фаддеева, реализованной в пакете MIT Faddeeva Package

См. также

Связанные ции

• интеграл Гаусса, по всей действительной прямой
• функция Гаусса, производная
• функция Доусона, перенормированная функция мнимой ошибки
• интеграл Гудвина — Стона

по вероятности

• Нормальное распределение
• Нормальная кумулятивная функция распределения, масштабированная и сдвинутая форма функций ошибок
• Пробит, обратная или квантильная функция нормального CDF
• Q-функция, вероятность хвоста нормального распределения

Ссылки

Дополнительная литература

• Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Press, William H.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок », Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 88068-8
• Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Лозье, Даниэль М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248

Внешние ссылки

• MathWorld — Erf
• Таблица интегралов функций ошибок

3.3.Температурное
поле непрерывного неподвижного точечного
источ­ни­ка в неограниченной среде.
Функция ошибок Гаусса (функция erf(x)).

Если в точ­ке с
координатами x‘,
y‘,
z‘
в интервале времени от t‘
= 0 до t‘
= t
ра­ботает источник тепла мощностью
W,
то температурное поле этого ис­точ­ни­ка,
как указано выше, мо­жет быть найдено
интегрированием фундаментального
решения по t‘
от 0 до t
(т.е. от момента включения до момента
выключения источника). Поместим начало
координат в точку, где находится источник
теп­ла. Тогда x’
= y’
= z’
= 0, и формула
для температуры принимает вид:

,
(3.3.1)

где r²
= (x — x’)²
+ (y — y’)²
+ (z — z’)²
= x²
+ y²
+ z²
— квадрат расстояния от источника до
точки на­блю­де­ния.

Произведем в
интеграле (3.3.1) замену переменных:
r²/[4a(t
— t’)] = ².
Тогда: (t —
t’)^3/2
= r³/(8a^3/2³),
dt’ = r²d/(2a³),
пределы интегрирования: t’
= 0 
,
t’ = t


= ,
и фор­мула (3.3.1) принимает вид:

.
(3.3.2)

Первый интеграл,
стоящий в скобках, известен из курса
высшей математики:

(интеграл
Пуассона),

а второй интеграл
через элементарные функции не выражается
и определяет специальную фун­к­цию,
которая называется функцией
ошибок Гаусса,
или интегралом
вероятностей,
или фун­к­ци­ей эрфектум:

(3.3.3)

(читается «эрфектум»
или сокращенно: «эрф»). Через эту
функцию выражаются решения мно­гих
задач в теории теплопроводности, да и
в других областях физики она играет
важную роль.

Из определения
(3.3.3) видно, что erf(0)
= 0, а erf()
= 1, т.е. erf(x)
— это мо­но­тон­но возрастающая
функция, вид ко­то­рой изо­бражен
на Рис.3.3. Функция erf(x)
та­бу­ли­­ро­вана, и ее зна­чения
приводят­ся в раз­лич­ных
справочниках; в таблице 3.1 при­ве­де­ны
несколько значений этой функции. В
биб­ли­о­те­ках не­ко­торых
языков программирова­ния имеются
го­то­вые под­про­грам­мы для
вы­чис­ления функции erf(x).
Если готовой под­про­­грам­мы
нет, функцию erf(x)
можно
вы­чис­лить с помощью степенного
ряда. «Стан­дар­т­ное»
раз­ло­жение этой функ­ции в
сте­пен­ной ряд, которое обычно
приводится в математи­чес­ких
спра­воч­никах, име­ет вид:

.
(3.3.4)

Этот
ряд удобен для анализа свойств функции,
но для практических расчетов он неудобен,
т.к. яв­ляется знакопеременным, что
при вычислениях приводит к потере
точности. Более удобен сле­­дующий
ряд:

,
(3.3.5)

где

,

.

С

Рис. 3.3.

помощью этого ряда легко соста­вить
программу вычисления erf(x)
на лю­бом языке про­грам­ми­рования
и да­же на программируемом
микро­каль­ку­ля­торе. Суммирование
надо пре­кра­щать, ко­гда при
добавлении оче­ред­но­го a_n-го
слагаемого сумма перестанет ме­няться
(будет до­стиг­ну­та «ма­шин­ная
точность»).

Если большой
точности не требуется, то можно
использовать приближенную фор­мулу:

erf(x)

[1 — exp(-4x²/)]^1/2.
(3.3.6)

Формула (3.3.6) дает
значения, абсолютная погрешность которых
не более 6.310^-3,
а отно­си­тель­ная погрешность
не более 0.71%.

Иногда требуется
определить erf(x)
в области отрицательных значений x.
Из формулы (3.3.3) очевидно, что erf(-x)
= — erf(x).

Заметим, что хотя
функция erf(x)
не является «элементарной», с точки
зре­ния ее свойств и способов
вы­чис­ления она проще, чем многие
«элементарные» функции, например,
тригонометрические.

С функцией erf(x)
связано еще несколько функций, часто
встречающихся в тепло­фи­зи­чес­ких
задачах. Это прежде всего дополнительный
интеграл ве­ро­ят­ностей:

,
(3.3.7)

который встречается
настолько часто, что для него используется
специальное обозначение: erfc(x)
(сокращенно читается «эрфик»). Вид
этой функции также приведен на рис.3.3.

Довольно часто
функцию erf(x)
приходится дифференцировать и
ин­те­грировать. Из оп­ре­де­ления
(3.3.3) следует, что

,
(3.3.8)

а интеграл от
erfc(x)
(обозначается как ierfc(x))
равен:

.
(3.3.9)

Вернемся к формуле
(3.3.2). Замечая, что ca
= ,
запишем эту формулу в виде:

.
(3.3.10)

При t


значение функции

0,


1, и формула (3.3.10), как и должно быть,
сов­па­да­ет с формулой для
стационарного решения (если T₀
принять за на­ча­ло отсчета
тем­пе­ра­ту­ры), т.к. при t


до­сти­га­ет­ся стационарное
распределение тем­пе­ра­ту­ры
в безграничной среде.

Таблица 3.1.
Некоторые значения функции erf(x).

x	erf(x)	x	erf(x)	x	erf(x)	x	erf(x)	x	erf(x)
0.0	0.0	0.3	0.32863	0.6	0.60386	0.9	0.79691	2.0	0.99532
0.1	0.11246	0.4	0.42839	0.7	0.67780	1.0	0.84270	2.5	0.99959
0.2	0.22270	0.5	0.52050	0.8	0.74210	1.5	0.96611

Соседние файлы в папке КраткийКонспектЛекций

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В математике функция ошибок (также называемая функцией ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf , является сложной функцией комплексной переменной, определяемой как:

Этот интеграл представляет собой специальную ( неэлементарную ) сигмовидную функцию, которая часто встречается в уравнениях вероятности , статистики и дифференциальных уравнений в частных производных . Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, то значение функции также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция ошибок имеет следующую интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена со средним значением 0 и стандартным отклонением
1/√ 2, erf x — вероятность того, что Y попадает в диапазон [- x , x ] .

Две тесно связанные функции — это дополнительная функция ошибок ( erfc ), определяемая как

и функция мнимой ошибки ( erfi ), определяемая как

где i — мнимая единица .

Имя

Название «функция ошибок» и ее сокращение erf были предложены Дж. В. Л. Глейшером в 1871 г. в связи с его связью с «теорией вероятности и, в частности, теорией ошибок ». Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок, плотность которых определяется как

( нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p и q, как:

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением σ и ожидаемым значением 0, тогда erf (а/σ √ 2) — вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между — a и + a для положительного a . Это полезно, например, при определении частоты ошибок по битам в цифровой системе связи.

Ошибки и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные условия задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда .

Функция ошибок и ее приближения могут использоваться для оценки результатов, которые имеют высокую или низкую вероятность. Дана случайная величина X ~ Norm [ μ , σ ] (нормальное распределение со средним μ и стандартным отклонением σ ) и константа L < μ :

где A и B — некоторые числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, а именно μ — L ≥ σ √ ln k , то:

поэтому вероятность стремится к 0 при k → ∞ .

Вероятность того, что X находится в интервале [ L _a , L _b ], может быть получена как

Характеристики

Свойство erf (- z ) = −erf z означает, что функция ошибок является нечетной функцией . Это напрямую связано с тем, что подынтегральное выражение e ^{— t 2} является четной функцией (интегрирование четной функции дает нечетную функцию и наоборот).

Для любого комплексного числа z :

где г представляет собой комплексно сопряженное из г .

Подынтегральное выражение f = exp (- z ² ) и f = erf z показано на комплексной плоскости z на рисунках справа с раскраской области .

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. Интеграл Гаусса ). На действительной оси erf z стремится к единице при z → + ∞ и −1 при z → −∞ . На мнимой оси он стремится к ± i ∞ .

Серия Тейлора

Функция ошибок — это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[…] его плохая сходимость, если x > 1 ».

Определяющий интеграл не может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций , но, раскладывая подынтегральное выражение e ^{— z 2} в его ряд Маклорена и интегрируя член за членом, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

которое выполняется для любого комплексного числа  z . Члены знаменателя — это последовательность (последовательность A007680 в OEIS ) в OEIS .

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

потому что — (2 к — 1) z ²/к (2 к + 1)выражает множитель для превращения k- го члена в ( k  + 1) -й член (считая z первым членом).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

которое выполняется для любого комплексного числа  z .

Производная и интеграл

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

Первообразная функции ошибки, получаемый путем интегрирования по частям , является

Первообразной функции мнимой ошибки, которую также можно получить интегрированием по частям, является

Производные высшего порядка даются формулами

где H — полиномы Эрмита физиков .

Серия Bürmann

Разложение, которое сходится быстрее для всех действительных значений x, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

где sgn — знаковая функция . Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая c ₁ =31 год/200и c ₂ = —341/8000, полученное приближение показывает свою наибольшую относительную ошибку при x = ± 1,3796 , где она меньше 0,0036127:

Обратные функции

Для комплексного числа z не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего erf w = z , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x <1 существует уникальное действительное число, обозначенное erf ⁻¹ x, удовлетворяющее

Функция обратной ошибки обычно определяется с помощью области (-1,1) , и она ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно распространить на диск | z | <1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

где c ₀ = 1 и

Итак, у нас есть расширение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

(После отмены дроби числителя / знаменателя представляют собой записи OEIS :  A092676 / OEIS :  A092677 в OEIS ; без отмены члены числителя приведены в записи OEIS :  A002067 .) Значение функции ошибок при  ± ∞ равно  ± 1 .

Для | z | <1 , имеем erf (erf ⁻¹ z ) = z .

Обратная дополнительная функция ошибок определяются как

Для действительного x существует уникальное действительное число erfi ⁻¹ x, удовлетворяющее erfi (erfi ⁻¹ x ) = x . Функция обратной мнимой ошибки определяется как erfi ⁻¹ x .

Для любого вещественного х , метод Ньютона может быть использован для вычисления ЕрФИ ^-1 х , а для -1 ≤ х ≤ 1 , следующие сходится ряд Маклорена:

где c _k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших действительных x :

где (2 n — 1) !! — двойной факториал числа (2 n — 1) , который является произведением всех нечетных чисел до (2 n — 1) . Этот ряд расходится для любого конечного x , и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого целого числа N ≥ 1 выполняется

где остаток в обозначениях Ландау равен

при x → ∞ .

Действительно, точное значение остатка равно

что легко следует по индукции, записывая

и интеграция по частям.

Для достаточно больших значений x необходимы только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc x (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Непрерывное расширение фракции

Цепная дробь расширение дополнительной функции ошибок является:

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

которая, по-видимому, связана с Нг и Геллером, формула 13 в разделе 4.3 с заменой переменных.

Факторный ряд

Обратный факторный ряд :

сходится при Re ( z ² )> 0 . Здесь

z ⁿ обозначает возрастающий факториал , а s ( n , k ) обозначает число Стирлинга первого рода со знаком . Также существует представление бесконечной суммой, содержащее двойной факториал :

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

• Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с различной точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности это:

  

  (максимальная ошибка: 5 × 10 ⁻⁴ )

  где a ₁ = 0,278393 , a ₂ = 0,230389 , a ₃ = 0,000972 , a ₄ = 0,078108

  

  (максимальная ошибка: 2,5 × 10 ⁻⁵ )

  где p = 0,47047 , a ₁ = 0,3480242 , a ₂ = −0,0958798 , a ₃ = 0,7478556

  

  (максимальная ошибка: 3 × 10 ⁻⁷ )

  где a ₁ = 0,0705230784 , a ₂ = 0,0422820123 , a ₃ = 0,0092705272 , a ₄ = 0,0001520143 , a ₅ = 0,0002765672 , a ₆ = 0,0000430638

  

  (максимальная ошибка: 1,5 × 10 ⁻⁷ )

  где p = 0,3275911 , a ₁ = 0,254829592 , a ₂ = −0,284496736 , a ₃ = 1,421413741 , a ₄ = −1,453152027 , a ₅ = 1,061405429.

  Все эти приближения верны для x ≥ 0 . Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x , используйте тот факт, что erf x — нечетная функция, поэтому erf x = −erf (- x ) .

• Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительной функции ошибок даются формулами

  

• Вышеупомянутое было обобщено до сумм из N экспонент с возрастающей точностью в терминах N, так что erfc x может быть точно аппроксимирован или ограничен величиной 2 Q̃ ( √ 2 x ) , где

  

  В частности, существует систематическая методология решения числовых коэффициентов {( a _n , b _n )}^N
  _{n = 1}которые дают минимаксное приближение или оценку для тесно связанной Q-функции : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) или Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) для x ≥ 0 . Коэффициенты {( a _n , b _n )}^N
  _{n = 1}для многих вариаций экспоненциальных приближений и границ до N = 25 были выпущены в открытый доступ в виде исчерпывающего набора данных.

• Точная аппроксимация дополнительной функции ошибок для x ∈ [0, ∞) дана Karagiannidis & Lioumpas (2007), которые показали для соответствующего выбора параметров { A , B }, что

  

  Они определили { A , B } = {1.98,1.135} , что дает хорошее приближение для всех x ≥ 0 . Также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности для конкретного приложения или преобразования выражения в жесткую границу.

• Одноканальная нижняя граница

  

  где параметр β может быть выбран так, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале аппроксимации.

• Другое приближение дает Сергей Виницкий, используя свои «глобальные приближения Паде»:

  

  куда

  

  Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и в окрестности бесконечности, а относительная ошибка меньше 0,00035 для всех действительных x . Использование альтернативного значения a ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.

  Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:

  

• Приближение с максимальной погрешностью 1,2 × 10 ⁻⁷ для любого действительного аргумента:

  

  с участием

  

  а также

  

Таблица значений

Икс	erf x	1 — эрф х
0	0	1
0,02	0,022 564 575	0,977 435 425
0,04	0,045 111 106	0,954 888 894
0,06	0,067 621 594	0,932 378 406
0,08	0,090 078 126	0,909 921 874
0,1	0,112 462 916	0,887 537 084
0,2	0,222 702 589	0,777 297 411
0,3	0,328 626 759	0,671 373 241
0,4	0,428 392 355	0,571 607 645
0,5	0,520 499 878	0,479 500 122
0,6	0,603 856 091	0,396 143 909
0,7	0,677 801 194	0,322 198 806
0,8	0,742 100 965	0,257 899 035
0,9	0,796 908 212	0,203 091 788
1	0,842 700 793	0,157 299 207
1.1	0,880 205 070	0,119 794 930
1.2	0,910 313 978	0,089 686 022
1.3	0,934 007 945	0,065 992 055
1.4	0,952 285 120	0,047 714 880
1.5	0,966 105 146	0,033 894 854
1.6	0,976 348 383	0,023 651 617
1,7	0,983 790 459	0,016 209 541
1,8	0,989 090 502	0,010 909 498
1.9	0,992 790 429	0,007 209 571
2	0,995 322 265	0,004 677 735
2.1	0,997 020 533	0,002 979 467
2.2	0,998 137 154	0,001 862 846
2.3	0,998 856 823	0,001 143 177
2,4	0,999 311 486	0,000 688 514
2,5	0,999 593 048	0,000 406 952
3	0,999 977 910	0,000 022 090
3.5	0,999 999 257	0,000 000 743

Дополнительная функция ошибок

Дополнительная функция ошибок , обозначаемая ERFC , определяется как

который также определяет erfcx , масштабированную дополнительную функцию ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Другая форма erfc x для x ≥ 0 известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя:

Это выражение действительно только для положительных значений x , но его можно использовать вместе с erfc x = 2 — erfc (- x ) для получения erfc ( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для erfc суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом:

Функция мнимой ошибки

Функция мнимой ошибки , обозначаемая erfi , определяется как

где D ( x ) — функция Доусона (которую можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «мнимая функция ошибок», erfi x реально, когда x реально.

Когда функция ошибок оценивается для произвольных комплексных аргументов z , результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существу идентична стандартной нормальной кумулятивной функции распределения , обозначаемой Φ , также называемой нормой ( x ) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они различаются только масштабированием и преобразованием. Действительно,

или переставил для erf и erfc :

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией , которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

Обратное из Ф называется нормальной функции квантиль , или пробит функции и могут быть выражены в терминах функции обратной ошибки как

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и также может быть выражена как конфлюэнтная гипергеометрическая функция ( функция Куммера):

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля .

С точки зрения регуляризованном гамма — функции P и неполной гамма — функции ,

sgn x — знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

Известные случаи:

• E ₀ ( x ) — прямая линия, проходящая через начало координат: E ₀ ( x ) =Икс/е √ π
• E ₂ ( x ) — функция ошибок, erf x .

После деления на п ! , все E _n для нечетных n похожи (но не идентичны) друг на друга. Точно так же E _n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга после простого деления на n ! . Все обобщенные функции ошибок для n > 0 выглядят одинаково на положительной стороне графика x .

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

Общая рекуррентная формула

У них есть степенной ряд

откуда следуют свойства симметрии

а также

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

• В Posix -совместимый операционных систем, заголовок math.h возвестят и математическая библиотека libm должна обеспечивать функции erfи erfc( двойной точности ), а также их одинарной точности и повышенной точности аналогов erff, erflи erfcf, erfcl.
• GNU Scientific Library предоставляет erf, erfc, log(erf), и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция сложного аргумента

• libcerf , цифровая библиотека C для сложных функций ошибок, обеспечивает комплексные функцииcerf,cerfc,cerfcxи реальные функцииerfi,erfcxпримерно с 13-14 точностью цифр, на основе функции Фаддеева , как реализовано в MIT Фаддеевого пакете

Смотрите также

• Гауссовский интеграл по всей действительной прямой
• Функция Гаусса , производная
• Функция Доусона , перенормированная функция мнимой ошибки
• Интеграл Гудвина – Стэтона

По вероятности

• Нормальное распределение
• Нормальная кумулятивная функция распределения , масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок
• Пробит , обратная или квантильная функция нормального CDF
• Q-функция , хвостовая вероятность нормального распределения

использованная литература

дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

внешние ссылки

• MathWorld — Эрф
• Таблица интегралов функций ошибок

---

Содержание

• 1. Функция math.erf(x). Функция ошибок
• 2. Функция math.erfc(x). Дополнительная функция ошибок
• 3. Функция math.gamma(x). Гамма-функция
• 4. Функция math.lgamma(x). Натуральный логарифм от гамма-функции
• 5. Константа math.pi. Число π
• 6. Константа math.e. Экспонента
• 7. Константа math.tau. Число 2·π
• 8. Константа math.inf. Положительная бесконечность
• 9. Константа math.nan. Значение NaN (not a number)
• Связанные темы

---

Поиск на других ресурсах:

1. Функция math.erf(x). Функция ошибок

Функция math.erf(x) в языке Python предназначена для вычисления функции ошибок от аргумента x. Функция ошибок еще называется функцией ошибок Гаусса и определяется по формуле

Более подробно об особенностях использования функции ошибок можно узнать из других источников.

Пример.

# Функция math.erf(x)
import math

x = 1.5
y = math.erf(x) # y = 0.9661051464753108

x = 0
y = math.erf(x) # y = 0.0

  ⇑

2. Функция math.erfc(x). Дополнительная функция ошибок

Функция math.erfc(x) используется для вычисления дополнительной функции ошибки в точке x. Дополнительная функция ошибки определяется как

1.0 - math.erf(x)

Функция math.erfc(x) используется в случаях, если значения x есть большими. При больших значениях x может произойти потеря значимости. Во избежание этого используется данная функция.
Функция math.erfc(x) используется в Python начиная с версии 3.2.

Пример.

# Функция math.erfc(x)
import math

x = 1.5
y = math.erfc(x) # y = 0.033894853524689274

x = 0
y = math.erfc(x) # y = 1.0

  ⇑

3. Функция math.gamma(x). Гамма функция

Функция math.gamma(x) возвращает Гамма-функцию от аргумента x. Гамма-функция вычисляется по формуле:

Более подробную информацию об использовании Гамма-функции можно найти в других источниках.
Функция math.gamma(x) введена в Python начиная с версии 3.2.

Пример.

# Функция math.gamma(x)
import math

x = 1.0
y = math.gamma(x) # y = 1.0

x = -2.2
y = math.gamma(x) # y = -2.2049805184191333

x = 3.8
y = math.gamma(x) # y = 4.694174205740421

  ⇑

4. Функция math.lgamma(x). Натуральный логарифм от гамма-функции

Функция math.lgamma(x) возвращает натуральный логарифм абсолютного значения Гамма-функции от аргумента x. Данная функция введена в Python начиная с версии 3.2.

Пример.

# Функция math.lgamma(x)
import math

x = 1.0
y = math.lgamma(x) # y = 0.0

x = 2.7
y = math.lgamma(x) # y = 0.4348205536551042

---

---

  ⇑

5. Константа math.pi. Число π

Константа math.pi определяет число π с доступной точностью.

Пример.

# Константа math.pi
import math

y = math.pi # y = 3.141592653589793

# Вычисление площади круга
r = 2.0
s = math.pi*r*r # s = 12.566370614359172

  ⇑

6. Константа math.e. Экспонента

Константа math.e определяет значение экспоненты с доступной точностью.

Пример.

# Константа math.e - экспонента
import math

y = math.e # y = 2.718281828459045

x = 1.5
y = math.e**x # y = 4.4816890703380645

  ⇑

7. Константа math.tau. Число 2·π

Константа math.tau определяет число 2·π с доступной точностью. Значение math.tau равно отношению длины окружности к ее радиусу. Константа используется в Python начиная с версии 3.6.

Пример.

# Константа math.tau
import math

y = math.tau # y = 6.283185307179586

# Вычисление длины окружности радиуса r = 2
r = 2.0
length = math.tau*r # length = 12.566370614359172

  ⇑

8. Константа math.inf. Положительная бесконечность

Константа math.inf определяет положительную бесконеченость с плавающей запятой. Чтобы определить отрицательную бесконечность, нужно использовать –math.inf.
Константа math.inf равна значению

float('inf')

Константа введена в Python начиная с версии 3.5.

Пример.

# Константа math.inf
import math
y = math.inf # y = inf - положительная бесконечность
print('y = ', y)

y = float('inf') # y = inf
print('y = ', y)

После запуска программы будет получен следующий результат

y = inf
y = inf

  ⇑

9. Константа math.nan. Значение NaN (not a number)

Константа math.nan введена в Python версии 3.6 и равна значению NaN с плавающей запятой. Значение NaN может возникать в случаях, когда результат вычисления неопределен. Примером такого вычисления может быть деление ноль на ноль, умножение ноль на бесконечность.
Определить, принимает ли результат значение NaN можно также с помощью функции math.isnan(x).
Константа math.nan введена в Python начиная с версии 3.5. Значение константы эквивалентно значению

float('nan')

Пример.

# Константа math.nan
import math

y = math.nan # y = nan
print('y = ', y)

y = float('nan') # y = nan
print('y = ', y)

Результат выполнения программы:

y = nan
y = nan

  ⇑

---

Связанные темы

• Теоретико-числовые функции и функции представления
• Степенные и логарифмические функции
• Тригонометрические функции
• Гиперболические функции

  ⇑

---