Допустимая ошибка сау - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Передаточная
функция ошибки по управляющему
воздействию.

G(p) (-)
E(p) X_вых(р)

(-)

Рис. 1.6

Когда на вход
неустойчивой системы подается единичный
сигнал Х_вх=1(t) в
установившемся режиме, ошибка будет
определяться по формуле:

Выражение для
установившейся ошибки:

Т.е. ошибка является
суммой двух ошибок: статической и
добавочной скоростной.

Режим движения с
постоянной скоростью используются для
оценки точности только систем с астатизмом
первого порядка.

Пусть скорость
изменения входного сигнала ν=1с^-1.

К_р=К_ν=46

Вывод: Заданная
САУ неустойчива по критерию Михайлова
и критерию Найквиста в логарифмических
координатах. Статистическая ошибка
больше допустимой, что не удовлетворяет
условию. Чтобы САУ была устойчива,
необходимо ввести в систему корректирующее
устройство. Статистическую ошибку можно
уменьшить, введя дополнительный
коэффициент усиления.

2. Синтез системы автоматического управления.

Под синтезом
САУ понимается направленный расчет,
имеющий конечной целью отыскание
рациональной структуры системы и
установление оптимальных величин
параметров её отдельных звеньев. Синтез
можно также трактовать как инженерную
задачу, сводящуюся к такому дополнительному
построению системы, при котором
обеспечивается выполнение технических
требований к ней (требования к габаритам,
весу, простоте, надежности, стоимости
и т.д.). При инженерном синтезе САУ
необходимо обеспечить устойчивость и
качество процесса регулирования, имеющие
противоречивый характер. Удовлетворительное
решение первой задачи, соответствует
нужному запасу устойчивости, может
привести к неудовлетворительным
характеристикам в переходном процессе
или в установившемся режиме. Возможен
и противоположный случай, когда реализация
требуемых характеристик качества,
например связанная с повышением точности
в установившемся режиме, сопровождается
чрезмерным понижением запаса устойчивости.
Противоречие между двумя задачами
особенно наглядно проявляется, если
делается попытка решить их одним и тем
же способом. Например, уменьшение ошибок
в установившемся режиме методом повышения
коэффициента усиления в разомкнутой
системе, как правило, приводит к уменьшению
запаса устойчивости. Метод, использующийся
для повышения статистической точности,
— повышение порядка астатизма – также
неблагоприятно сказывается на
устойчивости, уменьшая запас устойчивости
и увеличивая колебательность процесса.

Удовлетворительное
решение задачи реализации, как требуемого
запаса устойчивости, так и качества
процесса регулирования может быть
достигнуто при одновременном использовании
упомянутых методом и изменение структуры
системы или включении корректирующих
устройств в прямую цепь или цепь
внутренней обратной связи. Основное
назначение корректирующего устройства
– изменение динамических свойств
системы в направлении желаемых
характеристик, что проявляется в
изменении усиления по отдельным
гармоникам или только в той области
частот, которая оказывается существенной
для формирования той или иной динамической
характеристики. Влияние корректирующего
устройства на динамические свойства
систем проявляется так же в изменении
фазовой характеристики. Использование
корректирующих устройств наряду с
изменением коэффициента усиления в
разомкнутой цепи и изменением порядка
астатизма приводит в конечном итоге к
деформации частотных характеристик,
что и определяет коррекцию динамических
свойств системы.

Требования к
качеству САУ в установившемся и переходном
режиме:

Допустимая
статическая ошибка не более
0.005;

Допустимое
время регулирования не более T_{рег.

доп.}=0.997;

Допустимое
максимальное перерегулирование не
более
25%

Соседние файлы в папке курсовая работа

#
#
#
#
#
#
#
#
22.02.201418.4 Кб55ТАУ курсовая.mcd
#
#
#

Источник

1. Точность САУ

2. План

1 Общие положения
2 Понятие о типовых режимах САУ
3 Теорема о предельном значении оригинала и
методика определения установившихся
ошибок
4 Ошибки статических и астатических САУ в
типовых режимах
5 Ошибки САУ при произвольных входных
сигналах (коэффициенты ошибок)
6 Методы повышения точности САУ

3. 1 Общие положения

Точность является важнейшим критерием
качества систем. В настоящее время
практически все многочисленные
элементы любых технических систем
изготавливаются автоматически т.е. с
помощью САУ. Таким образом точность
САУ определяет качество продукции,
товаров, их надежность,
энергопотребление, долговечность и т.д.
и т.п.

4. 2 Понятие о типовых режимах САУ

Точность САУ принято оценивать по величине
ошибок в типовых режимах. Типовыми
называются режимы просто описываемые
математически и имеющие четкий
физический смысл. К ним относятся:
— режим покоя, когда х(t)=const;
— режим линейно-нарастающих сигналов, когда
х(t)=a*t, где а=const;
— режим гармонических входных сигналов,
когда х(t)=A*sinωt.

5.

ε
Итак, нам необходимо вычислить
установившуюся ошибку ε(t) при t→∞,
при типовых режимах и по ней можно
будет судить о точности САУ.

6. 3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок

Сформулируем для этого теорему о
предельном значении оригинала:
limX(t)=limX(s),
t→ ∞
s→ 0
т.е. предел оригинала при t→∞ равен
пределу изображения по Лапласу при
s→0.

7.

Передаточная функция САУ по ошибке:
( s)
1
F (s)
x( s ) 1 w p ( s )
Итак, чтобы определить установившуюся (при t→ ∞)
ошибку САУ нужно:
— Найти x(s) зная x(t)
— Определить Fε(s)
— Найти ε(s)= X(s) * Fε (s)
— Определить εуст= lim ε(s)
S→0

8. 4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах

Рассмотрим ошибки САУ в типовых режимах:
1. Ошибка САУ в покое (статическая ошибка)
X(t)=X0=const X(s)=X0
K
Пусть W p ( s )
— статическая
(T1S 1)(T2 S 1)
САУ, поскольку в знаменателе нет
множителя S, т.е. интегрирующего элемента
в системе

9.

По теореме о предельном значении аргумента
1
ст lim (t ) lim (s) (s) * F (s) (s) *
t
s 0
1 Wp ( s)
Подставляя Wp(s) в (1) получим:
X 0 (T1S 1)(T2 S 1)
X0
ст lim
s 0 (T S 1)(T S 1) K
1 K
1
2
(1)

10.

Статическая ошибка в
статической САУ в
(1+К) раз меньше
входной величины.
y(t)
X0
εст
t

11.

Пусть теперь
— астатическая САУ (есть
интегратор, т.е.
множитель S в знаменателе передаточной
функции)
K
W p ( s)
S (T1S 1)
ст
X 0 *1
X 0 S (TS 1)
lim (s) lim
lim
0
s 0
s 0 1 W ( s )
s 0 K S (TS 1)
p

12.

Таким образом,
статическая ошибка
в астатической САУ
равна 0
y(t)
X0
εст=0
t

13.

2. Второй типовой режим — движение с постоянной
скоростью (скоростная ошибка)
x(t)=at
a=cost
x( s)
a
s
Пусть:
K
W p ( s)
— статическая САУ
(T1S 1)(T2 S 1)
Тогда:
a (T1S 1)(T2 S 1)
(
t
)
lim
t a s 0 s K (T1S 1)(T2 S 1)

14.

x(t)=at
εα→∞
y(t)
α
t
tgα=a
Ошибка в статической
САУ при линейнонарастающем входном
сигнале x(t)=at
возрастает до ∞.
Т.о. статические САУ в
таком режиме не
работоспособны.

15.

Пусть теперь
K
Wp ( s)
S (TS 1)
— астатическая САУ
Тогда
S ( ST 1)
a
a
*
t a ( t ) lims 0(s) lim
s 0 s
K S (TS 1) K

16.

a
a
K
x(t)
y(t)
t
Т.о. в астатических
САУ при x(t)=at
a=const
устанавливается
ошибка в “К” раз
меньше чем “a”, т.е.
они работоспособны
в таких режимах.

17. 3. Третий режим — гармонических входных сигналов.

Пусть x(t)=xmsinωkt
xm,ωk – амплитуда и
частота “качки”.
x(s)
ε(s)
Wp(S)
y(s)

18. Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме.

Для этого найдем:
1
( s)
F ( s)
1 W p ( s ) x( s )
— ПФ САУ по ошибке
Подставим S=jωk
X ( j k )
( j k )
1 Wp ( j k )
(1)

19. Выражение (1) справедливо и для амплитуд, т.е.

m
xm
Xm
1 W p ( j k ) W p ( j k )
Откуда следует:
W p ( j k )
Ак
20 lg
xm
xm
(2)
m
Прологарифмируем (2):
L(ω)
m
ω
ω=ωk
Ак – контрольная точка
20 lg W p ( j k ) 20 lg
xm
m
(3)

20.

Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду
ошибки не более допустимой εдоп, если
20 lg W p ( j k ) L( k ) 20 lg
xm
доп

21. Т.о. чтобы ошибка САУ в гармоническом режиме не превышала допустимой εдоп необходимо:

1. Определить положение контрольной точки
Ак с координатами:
xm
ω=ωк и 20 lg
доп
2. Обеспечить прохождение L(ω) выше
контрольной точки Ак

22. 5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок)

Пусть на вход САУ действует сигнал x(t)
произвольной формы. Чтобы определить
ошибку ε(t) в этом случае найдем вначале ее
изображение.
x(s)
ε(s)
Wp(S)
y(s)

23.

( s)
Поскольку:
1
F ( s)
x( s ) 1 W p ( s )
(1)
То:
x( s )
( s)
1 Wp ( s)
(2)
Разложим далее Fε(s) по возрастающим
степеням S в ряд, тогда (2) можно записать в
виде:
C2 2 C3 3
( s ) C0 C1S S S x( s )
2!
3!
(3)

24.

При нулевых начальных условиях
S p
d
dt
и переходя в (3) к оригиналам можно записать
2
dx(t ) C2 d x(t )
(t ) C0 x(t ) C1 *
*
2
dt 2! dt
Величины С0, С1, С2 … называются
коэффициентами ошибок САУ.
(4)

25. Чтобы определить ошибку САУ при произвольной форме входного сигнала x(t) необходимо:

1. Определить передаточную функцию
САУ по ошибке Fε(s);
2. Разложить в ряд Fε(s) путем деления
ее числителя на знаменатель и найти
коэффициенты С0, С1, С2 …;
3. Подставить коэффициенты ошибок в
(4) и найти установившуюся ошибку
ε(t).

26. Пример

Найти ошибку в САУ при:
Если:
bt 2
x(t ) x0 at
2
K
W p (s)
S (T1S 1)(T2 S 1)

27. Решение:

1.Найдем
1
F (s)
1 Wp ( s)
1
S (T1S 1)(T2 S 1)
T1T2 S 3 (T1 T2 ) S 2 S
F ( s)
1 W p ( s) K S (T1S 1)(T2 S 1) T1T2 S 3 (T1 T2 ) S 2 S K

28. 2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель

S (T1 T2 ) S T1T2 S
2
—
—
3
1
1
S S 2 * (T1 T2 ) S 3 …
K
K
1 2
T T 3
T1 T2 S T1T2 1 2 S …
K
K
1 2
T1 T2 S …
K
K S (T1 T2 )S 2 T1T2 S 3
1 2
1 1
S * T1 T2 S
K
K K

29.

Ограничимся первыми тремя членами
ряда, т.к. входной сигнал X(t) имеет
лишь три не нулевых первых
производных.

30.

3. Итак:
1
1 2
T1T2
F ( s ) S
2 S
K
K
K
(5)
Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты
ошибок:
T1T2
1
1
С0=0
C2 2
2 (6)
C1
K
K
K

31.

4. Определим далее производные от X(t):
bt 2
x(t ) x0 at
2
dx(t )
a bt
dt
d 2 x(t )
b
dt
(7)

32.

5. Подставляя коэффициенты С0, С1, С2… и
производные (7) в (4) получим:
1
1
T1T2
(t ) * (a bt )
2 *b
K
K
K
Т.е. ошибка с течением времени будет
нарастать до ∞ из-за члена “bt”.

33. 6 Методы повышения точности САУ

Анализируя выражения для
коэффициентов ошибок отметим, что:
1. Все коэффициенты обратнопропорциональны коэффициенту К –
усиления системы;
2. Чем выше порядок астатизма “v” тем
большее количество первых
коэффициентов ошибок равны 0

34. ВНИМАНИЕ

Порядок астатизма “v” определяется числом
интегрирующих звеньев в контуре системы.
Формально “v” равно показателю степени
множителя S в знаменателе передаточной
функции wp.
N ( s)
wp v
S M ( s)

35. 1. Первый способ повышения точности САУ – увеличение К

Т.о. самым универсальным способом
повышения точности САУ являются
увеличение коэффициента К усиления
системы. При этом все коэффициенты
ошибок уменьшаются, а это означает, что
система во всех режимах работы будет иметь
меньшие ошибки. Однако этот способ
снижает запасы устойчивости системы и рано
или поздно приводит к полной потере
устойчивости. Это можно показать на
примере критерия Найквиста.

36.

Im
K2>K1
К1
К2
-1;j0
wp(jω)
Re

37. 2. Способ повышения точности САУ – путем увеличения астатизма “v”

Этот способ исключает первые коэффициенты в
ряду ошибок. Действительно:
v=0 (статическая САУ)
Все коэффициенты не
равны 0, т.е. с0≠0 с1≠0
с2≠0 …, т.е. статическая
система в любых
режимах работы, в т.ч. и
в покое будет иметь
ошибки

38.

v=1 (астатическая САУ
с астатизмом
первого порядка)
с0=0 с1≠0 с2≠0 …, т.е.
такая система не
будет иметь ошибки
в режиме покоя.
v=2 (астатическая САУ
с астатизмом
второго порядка)
с0=0 с1=0 с2≠0 с3≠0 …,
такая система не
будет иметь ошибок
не только в режиме
покоя, но и при
линейнонарастающем
сигнале

39.

К сожалению, этот способ также снижает
запасы устойчивости САУ. Действительно:
Im
v=2
Re
-1;j0
v=0
v=1
По критерию Найквиста системы при v=0, v=1
могут быть как устойчивыми так и не
устойчивыми, но при v=2 они становятся не
устойчивыми при любых коэффициентах К.

40. 3. Повышение точности САУ с использованием принципов комбинированного управления.

Принцип комбинированного управления
состоит в том, что в дополнение к принципу
обратной связи реализуется принцип
управления по возмущению. V(t)
Измеритель
x(t)
y(t)
Регулятор
Объект

41.

Здесь сочетается (комбинируются) оба
названных принципа:
— Управление по возмущению (за счет
измерения возмущения v(t) и выработки
дополнительного управляющего сигнала
компенсирующего действия возмущения);
— Управление по отклонению или принцип
обратной связи реализуется за счет главной
отрицательной обратной связи и сигнала
рассогласования и регулятора.

42.

Рассмотрим следящую систему с
комбинированным управлением и найдем
передаточную функцию обычной системы
эквивалентной по точности.
W3(S)
y(s)
x(s)
W1(s)
W2(S)
≡
Wэ(S)

43.

Для этого приравняем их передаточные функции.
wэ (s)
y(s) w1 (s)w2 (s)
w2 (s)
F (s)
w3 (s)
x(s) 1 w1 (s)w2 (s)
1 w1 (s)w2 (s) 1 wэ (s)
(1)

44.

Из (1) после некоторых преобразований можно
получить:
w1 ( s) w3 ( s)
wэ ( s) w2 ( s) *
1 w3 ( s) w2 ( s)
(2)
Как видно из последнего выражения, при:
1
w3 ( s )
w2 ( s )
wэ(s)=∞
Условие (3) называется условием полной
инвариантности.
(3)

45.

Это означает, что ошибка рассматриваемой
комбинированной следящей системы будет
равна 0 в любых режимах работы поскольку:
( s)
1
F ( s )
0
x( s ) 1 wэ ( s )

46.

Достоинство принципа комбинированного
управления в том, что он не изменяет
(не ухудшает) устойчивости и качества
переходных процессов. Однако,
реализовать точно условие полной
инвариантности практически
невозможно.

47. ПРИМЕР

Пусть:
K
w2 ( s)
S (T1S 1)(T2 S 1)
Найдем:
1
S (T1S 1)(T2 S 1) 1
T1 T2 2 T1T2 3
w3 ( s)
S
S
S
w2 ( s)
K
K
K
K

48.

Структурная схема такой комбинированной
следящей системы имеет вид:
III
II
I
T1T2
S3
K
T1 T2 2
S
K
1
S
K
x(s)
w1(s)
K
S (T1S 1)(T2 S 1)
y(s)

49.

Итак, чтобы точно реализовать условие полной
инвариантности в нашем примере необходимо:
• реализовать канал I (тахогенератор)
• реализовать канал II (это 2-ая производная от угла)
• реализовать канал III (это 3-ая производная от угла)
Точно это сделать практически нельзя. Кроме того, в
реальных САУ имеется множество нелинейностей,
которые мы не учитывали при выводе условия
полной инвариантности.
Поэтому часто используют частично-инвариантные
САУ, т.е. САУ не имеющие ошибок лишь в некоторых
режимах.

Источник

Точность САУ

План 1 Общие положения 2 Понятие о типовых режимах САУ 3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок 4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах 5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок) 6 Методы повышения точности САУ

1 Общие положения Точность является важнейшим критерием качества систем. В настоящее время практически все многочисленные элементы любых технических систем изготавливаются автоматически т. е. с помощью САУ. Таким образом точность САУ определяет качество продукции, товаров, их надежность, энергопотребление, долговечность и т. д. и т. п.

2 Понятие о типовых режимах САУ Точность САУ принято оценивать по величине ошибок в типовых режимах. Типовыми называются режимы просто описываемые математически и имеющие четкий физический смысл. К ним относятся: — режим покоя, когда х(t)=const; — режим линейно-нарастающих сигналов, когда х(t)=a*t, где а=const; — режим гармонических входных сигналов, когда х(t)=A*sinωt.

ε Итак, нам необходимо вычислить установившуюся ошибку ε(t) при t→∞, при типовых режимах и по ней можно будет судить о точности САУ.

3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок Сформулируем для этого теорему о предельном значении оригинала: lim. X(t)=lim. X(s), t→ ∞ s→ 0 т. е. предел оригинала при t→∞ равен пределу изображения по Лапласу при s→ 0.

Передаточная функция САУ по ошибке: Итак, чтобы определить установившуюся (при t→ ∞) ошибку САУ нужно: — Найти x(s) зная x(t) — Определить Fε(s) — Найти ε(s)= X(s) * Fε (s) — Определить εуст= lim ε(s) S→ 0

4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах Рассмотрим ошибки САУ в типовых режимах: 1. Ошибка САУ в покое (статическая ошибка) X(t)=X 0=const X(s)=X 0 Пусть — статическая САУ, поскольку в знаменателе нет множителя S, т. е. интегрирующего элемента в системе

По теореме о предельном значении аргумента (1) Подставляя Wp(s) в (1) получим:

Статическая ошибка в статической САУ в (1+К) раз меньше входной величины. y(t) X 0 εст t

Пусть теперь — астатическая САУ (есть интегратор, т. е. множитель S в знаменателе передаточной функции)

Таким образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0 y(t) X 0 εст=0 t

2. Второй типовой режим — движение с постоянной скоростью (скоростная ошибка) x(t)=at a=cost Пусть: — статическая САУ Тогда:

x(t)=at εα→∞ y(t) α t tgα=a Ошибка в статической САУ при линейнонарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до ∞. Т. о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.

Пусть теперь — астатическая САУ Тогда

x(t) y(t) t Т. о. в астатических САУ при x(t)=at a=const устанавливается ошибка в “К” раз меньше чем “a”, т. е. они работоспособны в таких режимах.

3. Третий режим — гармонических входных сигналов. Пусть x(t)=xmsinωkt xm, ωk – амплитуда и частота “качки”. x(s) ε(s) Wp(S) y(s)

Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме. Для этого найдем: — ПФ САУ по ошибке Подставим S=jωk (1)

Выражение (1) справедливо и для амплитуд, т. е. Откуда следует: (2) Ак 20 lg xm L(ω) Прологарифмируем (2): em ω ω=ωk Ак – контрольная точка (3)

Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более допустимой εдоп, если

Т. о. чтобы ошибка САУ в гармоническом режиме не превышала допустимой εдоп необходимо: 1. Определить положение контрольной точки Ак с координатами: ω=ωк и 2. Обеспечить прохождение L(ω) выше контрольной точки Ак

5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок) Пусть на вход САУ действует сигнал x(t) произвольной формы. Чтобы определить ошибку ε(t) в этом случае найдем вначале ее изображение. x(s) ε(s) Wp(S) y(s)

Поскольку: (1) То: (2) Разложим далее Fε(s) по возрастающим степеням S в ряд, тогда (2) можно записать в виде: (3)

При нулевых начальных условиях и переходя в (3) к оригиналам можно записать (4) Величины С 0, С 1, С 2 … называются коэффициентами ошибок САУ.

Чтобы определить ошибку САУ при произвольной форме входного сигнала x(t) необходимо: 1. Определить передаточную функцию САУ по ошибке Fε(s); 2. Разложить в ряд Fε(s) путем деления ее числителя на знаменатель и найти коэффициенты С 0, С 1, С 2 …; 3. Подставить коэффициенты ошибок в (4) и найти установившуюся ошибку ε(t).

Пример Найти ошибку в САУ при: Если:

Решение: 1. Найдем

2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель — —

Ограничимся первыми тремя членами ряда, т. к. входной сигнал X(t) имеет лишь три не нулевых первых производных.

3. Итак: (5) Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты ошибок: С 0=0 (6)

4. Определим далее производные от X(t): (7)

5. Подставляя коэффициенты С 0, С 1, С 2… и производные (7) в (4) получим: Т. е. ошибка с течением времени будет нарастать до ∞ из-за члена “bt”.

6 Методы повышения точности САУ Анализируя выражения для коэффициентов ошибок отметим, что: 1. Все коэффициенты обратнопропорциональны коэффициенту К – усиления системы; 2. Чем выше порядок астатизма “v” тем большее количество первых коэффициентов ошибок равны 0

ВНИМАНИЕ Порядок астатизма “v” определяется числом интегрирующих звеньев в контуре системы. Формально “v” равно показателю степени множителя S в знаменателе передаточной функции wp.

1. Первый способ повышения точности САУ – увеличение К Т. о. самым универсальным способом повышения точности САУ являются увеличение коэффициента К усиления системы. При этом все коэффициенты ошибок уменьшаются, а это означает, что система во всех режимах работы будет иметь меньшие ошибки. Однако этот способ снижает запасы устойчивости системы и рано или поздно приводит к полной потере устойчивости. Это можно показать на примере критерия Найквиста.

Im K 2>K 1 К 2 -1; j 0 wp(jω) Re

2. Способ повышения точности САУ – путем увеличения астатизма “v” Этот способ исключает первые коэффициенты в ряду ошибок. Действительно: v=0 (статическая САУ) Все коэффициенты не равны 0, т. е. с0≠ 0 с1≠ 0 с2≠ 0 …, т. е. статическая система в любых режимах работы, в т. ч. и в покое будет иметь ошибки

v=1 (астатическая САУ с астатизмом первого порядка) с0=0 с1≠ 0 с2≠ 0 …, т. е. такая система не будет иметь ошибки в режиме покоя. v=2 (астатическая САУ с астатизмом второго порядка) с0=0 с1=0 с2≠ 0 с3≠ 0 …, такая система не будет иметь ошибок не только в режиме покоя, но и при линейнонарастающем сигнале

К сожалению, этот способ также снижает запасы устойчивости САУ. Действительно: Im v=2 Re -1; j 0 v=1 По критерию Найквиста системы при v=0, v=1 могут быть как устойчивыми так и не устойчивыми, но при v=2 они становятся не устойчивыми при любых коэффициентах К.

3. Повышение точности САУ с использованием принципов комбинированного управления. Принцип комбинированного управления состоит в том, что в дополнение к принципу обратной связи реализуется принцип управления по возмущению. V(t) Измеритель x(t) y(t) Регулятор Объект

Здесь сочетается (комбинируются) оба названных принципа: — Управление по возмущению (за счет измерения возмущения v(t) и выработки дополнительного управляющего сигнала компенсирующего действия возмущения); — Управление по отклонению или принцип обратной связи реализуется за счет главной отрицательной обратной связи и сигнала рассогласования и регулятора.

Рассмотрим следящую систему с комбинированным управлением и найдем передаточную функцию обычной системы эквивалентной по точности. W 3(S) x(s) W 1(s) W 2(S) y(s) ≡ Wэ(S)

Для этого приравняем их передаточные функции. (1)

Из (1) после некоторых преобразований можно получить: (2) Как видно из последнего выражения, при: (3) wэ(s)=∞ Условие (3) называется условием полной инвариантности.

Это означает, что ошибка рассматриваемой комбинированной следящей системы будет равна 0 в любых режимах работы поскольку:

Достоинство принципа комбинированного управления в том, что он не изменяет (не ухудшает) устойчивости и качества переходных процессов. Однако, реализовать точно условие полной инвариантности практически невозможно.

ПРИМЕР Пусть: Найдем:

Структурная схема такой комбинированной следящей системы имеет вид: III II I x(s) w 1(s) y(s)

Итак, чтобы точно реализовать условие полной инвариантности в нашем примере необходимо: • реализовать канал I (тахогенератор) • реализовать канал II (это 2 -ая производная от угла) • реализовать канал III (это 3 -ая производная от угла) Точно это сделать практически нельзя. Кроме того, в реальных САУ имеется множество нелинейностей, которые мы не учитывали при выводе условия полной инвариантности. Поэтому часто используют частично-инвариантные САУ, т. е. САУ не имеющие ошибок лишь в некоторых режимах.

Источник

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Автоматизации
производственных процессов в машиностроении»

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Анализ и синтез линейной системы автоматического
управления»

ВЫПОЛНИЛА:

студентка гр. КП-32

Киселева И.Е.

ПРОВЕРИЛ:

Нос О.В.

Новосибирск 2006

Исходные данные для проектирования:

— номер варианта таблицы уравнений структурной схемы
№8;

— номер варианта таблицы параметров объекта управления
№6;

— допустимая скоростная ошибка регулирования Δy_доп(∞) = 0,001…0,005;

— максимально-допустимое время регулирования t_p=
0,5… 1,5 с;

— максимально-допустимое перерегулирование σ% =
(20…30)%.

Содержание пояснительное записки:

— определение ошибки регулирования по управляющему и
возмущающему воздействиям в установившемся процессе;

— исследование устойчивости исходного объекта
управления;

— определение требуемого коэффициента передачи
последовательного корректирующего устройства;

— синтез линейной САУ на основании метода желаемых
логарифмических частотных характеристик;

— проверка результатов синтеза методом цифрового
моделирования.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений,
описывающая динамику исходной САУ:

1. Анализ линейной САУ:

1.1. В соответствии с таблицей Т.1
составить структурную схему исходной нескорректированной САУ.

	Уравнения связей
8	x₃=(x — y)	x₄= y₃– y₂	x₂= y₄	x₁= y₂— z

	k₁	τ₁	T₁	k₀₁	k₂	τ₂	T₂	k₀₂	k₃	T₃	k₄	τ₄	T₄
6	1.2	1	0.6	0	1.0	0.4	0	1.0	1.4	0.1	1	0.0	0.0

Примечание: х – задающее воздействие; z– возмущающее воздействие; х_i– входная переменная i-ого звена; y_i–
выходная переменная i-ого
звена; у = y₁ –
выходная (управляемая) переменная
САУ.

Принципиальная схема:

1.2. На основании дифференциальных уравнений (1) – (4)
и таблицы Т.2 записать дифференциальные уравнения в операторной форме записи в
общем виде и с учетом численных значений.

(5)

(6)

(7)

(8)

В операторной форме:

(9)

(10)

(11)

(12)

1.3. Получить передаточные функции звеньев структурной
схемы в стандартном виде.

;

Для наглядности
впишем их в символы элементов на структурной схеме:

Преобразуем структурную схему к
одноконтурной и определим передаточную функцию разомкнутой системы W_paз(p),
выделив в ней коэффициент передачи разомкнутой системы k_раз.

;

Передаточная функция разомкнутой системы:

= =

Коэффициент передачи
разомкнутой системы:

1.4. Записать передаточные функции замкнутой САУ по
задающему х и возмущающему z воздействиям и определить
статические ошибки при нулевых начальных условиях в случае приложения
единичного ступенчатого сигнала.

Передаточная функция замкнутой системы по управлению:

;

Передаточная
функция замкнутой системы по возмущению:

;

Определение статических
ошибок:

По управлению (при
нулевых начальных условиях p=0): =1

По возмущению (при
нулевых начальных условиях p=0): = -0,714

1.5. При помощи алгебраического критерия устойчивости
Гурвица проверить условие устойчивости нескорректированной САУ.

Запишем операторный полином:

, где: ; ;
;

Для
устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы

; ;

;

, т.е.

То есть

Достаточное условие устойчивости выполняется.

1.6. Методом цифрового моделирования определить прямой
показатель качества переходных процессов и статическую точность регулирования
(ошибку) нескорректированной САУ по двум внешним воздействиям х и z . Установившиеся
значения выходной переменной у сравнить с результатами, полученными в
п. 1.4.

Полная ошибка регулирования:

Передаточная функция ошибки по управлению:

Передаточная функция ошибки по возмущению:

Схема исходной САУ:

Единичное ступенчатое воздействие по управлению:

Единичное ступенчатое воздействие по возмущению:

2.
Синтез линейной САУ

2.1 Изобразить асимптотическую ЛАЧХ
нескорректированной системы c использованием логарифмического масштаба ω или lgω.
Продольную ось провести
через единичную частоту ω = 1.

2.2 Построить желаемую ЛАЧХ астатической
скорректированной САУ , обеспечивающей заданные показатели качества переходных
процессов σ%, tр и требуемую скоростную ошибку , которая
состоит из низкочастотной (НЧ), среднечастотной (СЧ) и высокочастотной (ВЧ)
областей.

2.2.1 Наклон НЧ области желаемой ЛАЧХ
принять равной -20 дБ/дек. Требуемый разомкнутый коэффициент передачи скорректированной
системы определить как:

2.2.2 По номограммам, приведенным в [1,
стр. 230], задавшись значением перерегулирования σ%=30% и временем
регулирования tр = 0,5, определив максимальное значение вещественной
частотной характеристики =1,27 , находим частоту
среза =1,34 и
необходимый запас устойчивости

Источник

Показатели качества сау

Количественные оценки
качества, так называемые прямые показатели
качества, определяются по кривой
переходного процесса (рис.16).

Рис.16. Переходная
функция и показатели качества

Используются следующие
прямые показатели качества:

величина
перерегулирования
,

;

характеризует
максимальное отклонение регулируемой
величины от ее установившегося значения,
которое может быть определено в
соответствии с теоремой о конечном
значении оригинала

;

время
переходного процесса или время
регулирования t_p
– наименьшее значение времени, после
которого имеет место неравенство

где

— заданная величина, обычно лежащая в
пределах =0,02÷0,05;

3)
статическая ошибка _с_m–
величина отклонения установившегося
значения регулируемой величины x()
от требуемого значения
N

или
,
гдеE(p)– изображение ошибки;

4)
время регулирования t_р
– промежуток времени, по истечении
которого регулируемая величина первый
раз достигает установившегося значения.

Для определения
качества системы могут использоваться
и другие показатели, соответствующие
решаемой задаче, например, число колебаний
регулируемой величины за время
регулирования, частота и период колебаний
и т.д.

Во всех случаях
необходимо построить переходную функцию.

Коэффициенты ошибок

Точность САУ в
установившемся режиме, при относительно
медленно изменяющихся воздействиях,
может быть оценена с помощью коэффициентов
ошибок. Изображение ошибки определяется
выражением

где
—
передаточная функция по ошибке.

Разложим передаточную
функцию системы по ошибке в степенной
ряд в окрестности точки p=0.
Отметим, что приp0,tи именно
поэтому мы говорим о точности в
установившемся режиме.

Обозначим:
и получим

,
(8)

Учитывая, что оператор
p, умноженный на
изображение самой величины, является
символом дифференцирования, можно для
оригиналов записать

.
(9)

Выражение (9) определяет
зависимость ошибки регулирования от
различных составляющих входного
воздействия, коэффициенты K_iполучили название коэффициентов ошибок:

K₀— коэффициент ошибки по положению;
K₁—
коэффициент ошибки по скорости;
K₂– коэффициент ошибки по ускорению и
т.д.

Из (8) следует, что

Численные значения
коэффициентов ошибок определяются из
этого выражения при p0.

Очевидно, что К₀=Ф_(0).

Входное воздействие
можно представить в виде степенного
ряда

где g₀– постоянная величина, характеризующая
начальное значение, g₁=const – скорость
изменения входного воздействия, g₂=const – ускорение и т.д.

Тогда

Пусть передаточная
функция разомкнутой системы имеет вид

где - порядок астатизма системы. Для
передаточной функции замкнутой системы
по ошибке получим

Изображение ошибки
запишется в виде

Отсюда следует, что
если порядок астатизма больше порядка
старшей производной воздействия, т.е.
>m, то ошибка в
установившемся режиме будет равна нулю.
Если=m, то установившаяся
ошибка будет равна постоянной величине,
называемой статической ошибкой. И если<m, то при tи. В отношении
коэффициентов ошибок последнее выражение
позволяет сделать следующие выводы.

1). Если система
статическая, т.е.=0,
то существуют все составляющие ошибки
и все коэффициенты ошибок не равны нулю,
т.к.К₀ = Ф_(0)
0.

2).Система с астатизмом
1-го порядка, 
=1, не имеет ошибки по положению иК₀=0.

3).Система с астатизмом
2-го порядка, 
=2, не имеет ошибок по положению и по
скорости иК₀ =0,К₁=0.

Этот список можно
продолжить. Таким образом, повышение
порядка астатизма повышает точность
системы в установившемся режиме. Но
повышение порядка астатизма снижает
запасы устойчивости, т.к. введение
интегрирующих звеньев увеличивает
фазовое запаздывание (снижает частоту
). Поэтому на
практике порядок астатизма выше второго
не применяют, а чаще всего ограничиваются
астатизмом первого порядка, используя
для повышения точности другие способы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Как отмечалось, ошибка САУ в установившемся режиме является одним из показателей качества системы. В случае медленно изменят ющихся задающего или возмущающего воздействий ошибку системы в установившемся режиме удобно определять с помощью коэффициентов ошибок.

Ошибка следящей системы вызываемая изменением задающего воздействия а в соответствии с (2.61), может быть определена

с помощью передаточной функции системы по ошибке

Предположим, что можно разложить в степенной ряд относительно сходящийся, по крайней мере, при малых значениях

Тогда, согласно (4.22), можно записать

Этот ряд сходится в окрестности точки Поэтому будет сходиться и оригинал ряда (4.24) при т. е. ряд, в который можно разложить ошибку системы в установившемся режиме:

Отсюда видно, что в общем случае ошибка системы в установившемся режиме состоит из ряда слагаемых, пропорциональных как входному сигналу так и его производным. Слагаемые, входящие в ряд ошибок, обычно называют так: — ошибкой по положению (по сигналу); — ошибкой, вызываемой скоростью; — ошибкой, вызываемой ускорением задающего воздействия и т.д., а постоянные — коэффициентами ошибок. Ошибки в установившихся режимах, вызываемые изменяющимся задающим воздействием, называются динамическими. Зная коэффициенты ошибок и закон изменения задающего воздействия а с помощью формулы (4.25) можно определить ошибку системы в установившемся режиме.

Коэффициенты ошибок выразим через параметры системы. Передаточная функция системы по ошибке связана с передаточной функцией разомкнутой системы выражением

Учитывая, что передаточная функция системы с астатизмом порядка в разомкнутом состоянии имеет вид

где передаточная функция по ошибке в соответствии с выражением (4.26) будет равна:

где коэффициенты с равны сумме коэффициентов при одинаковых степенях

При (статическая система):

При (астатическая система с астатизмом порядка):

На основании (4.23) и (4.27) можно записать

откуда

Раскрывая скобки в правой части полученного выражения и приравнивая коэффициенты правой и левой частей при одинаковых степенях можно получить систему уравнений, из которой затем можно определить коэффициенты ошибок через коэффициенты с и о уравнения САУ. Значения коэффициентов ошибок будут различными для систем с различными порядками астатизма. Найдем сначала коэффициенты ошибок для статической системы

Приравнивая члены левой и правой частей выражения (4.31) при одинаковых степенях и учитывая, что получаем следующую систему уравнений:

из которой можно определить коэффициенты ошибок для статической системы. Из первого уравнения находим или, если принять во внимание, что а также, что для случая в соответствии с формулой то

Из второго уравнения находим

Аналогично можно определить и другие коэффициенты ошибок.

Таблица 4.3. (см. скан) Коэффициенты ошибок статической и астатических систем

Коэффициенты ошибок астатической системы с астатизмом первого порядка могут быть найдены из системы уравнений, полученной из выражения (4.31) приравниванием коэффициентов его левой и правой частей при одинаковых степенях при учете, что

Из первого уравнения из второго уравнения с учетом (4.29):

Аналогично определяются остальные коэффициенты ошибок.

В табл. 4.3 приводятся несколько первых коэффициентов ошибок Для статической и астатических систем первого и второго порядков астатизма. В качестве примера определим установившиеся ошибки САУ, обладающих различными порядками астатизма при разных задающих воздействиях.

Пример 3. Задающее воздействие изменяется по закону ступенчатой функции а (табл. 4.4). Определить установившиеся ошибки в следящих системах, имеющих порядок астатизма

1. Определяем производные

Таблица 4.4. Характер реакций систем на различные задающие воздействия

2. С учетом (4.34) выражение (4.25) для ошибки принимает вид

т. е. при ступенчатом воздействии появляется только ошибка по положению.

3. Для определения в статической системе подставляем из табл. 4.3 значение в формулу (4.35): т. е. при ступенчатом задающем воздействии в статической системе возникает постоянная ошибка по положению. Эта ошибка при данном будет тем меньше, чем больше системы.

4. Установившиеся ошибки в астатических системах с астатизмом порядка и с астатизмом 2-го порядка т. е. ошибка по положению, а следовательно, и вся установившаяся ошибка в астатических системах при ступенчатом задающем воздействии равна нулю.

Реакции следящих систем с порядками астатизма на ступенчатое задающее воздействие изображены в табл. 4.4.

Пример 4. Задающее воздействие изменяется по закону а (см. табл. 4.4). Определить в следящих системах с порядком астатизма

1. Определяем производные от

Учитывая, что вторая и более высокие производные от а равны нулю, формула (4.25) примет вид

т. е. при линейно возрастающем задающем воздействии возможно появление в системе динамических ошибок по положению и по скорости.

3. Для определения в статической системе подставляем из табл. 4.3 значения в формулу (4.36):

т. е. в статической системе имеются ошибки по положению и по скорости. Ошибка

по положению при изменении задающего воздействия с постоянной скоростью возрастает во времени и поэтому системы стремится к бесконечности.

4. Установившаяся ошибка астатической системы с астатизмом порядка

т. е. в системе с астатизмом порядка ошибка по положению равна нулю (так как Скоростная ошибка постоянна. Она пропорциональна скорости изменения задающего воздействия и обратно пропорциональна коэффициенту усиления системы в разомкнутом состоянии Выражение (4.37) для скоростной ошибки, полученное с помощью коэффициентов ошибок, совпадает с ранее полученной формулой (2.75).

5. Установившаяся ошибка астатической системы с астатизмом порядка т. е. в системе с астатизмом порядка при изменении с постоянной скоростью равна нулю. Это объясняется тем, что коэффициенты ошибок , следовательно, ошибка по положению и по скорости в этой системе равны нулю.

Реакции следящих систем на задающее воздействие а изображены в табл. 4.4.

Пример 5. Задающее воздействие где — начальное значение — начальное значение скорости изменения а — ускорение а Определить в следящих системах с порядками астатизма

1. Определяем производные от а

2. С учетом (4.38) выражение (4.25) принимает вид

т. е. при равноускоренном изменении задающего воздействия возможно появление в системе динамических ошибок по положению, скоростной ошибки и ошибки по ускорению.

3. Установившиеся динамические ошибки:

в статической системе

в астатической системе с астатизмом порядка

т. е. при равноускоренном изменении задающего воздействия в системе с астатизмом порядка растет во времени до бесконечности;

в астатической системе с астатизмом порядка постоянна. Она пропорциональна ускорению и обратно пропорциональна системы.

Реакции систем на задающее воздействие изображены в табл. 4.4,

Точность САУ

ε Итак, нам необходимо вычислить установившуюся ошибку ε(t) при t→∞, при типовых режимах и по ней можно будет судить о точности САУ.

По теореме о предельном значении аргумента (1) Подставляя Wp(s) в (1) получим:

Статическая ошибка в статической САУ в (1+К) раз меньше входной величины. y(t) X 0 εст t

Пусть теперь — астатическая САУ (есть интегратор, т. е. множитель S в знаменателе передаточной функции)

Таким образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0 y(t) X 0 εст=0 t

x(t)=at εα→∞ y(t) α t tgα=a Ошибка в статической САУ при линейнонарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до ∞. Т. о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.

Пусть теперь — астатическая САУ Тогда

Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме. Для этого найдем: — ПФ САУ по ошибке Подставим S=jωk (1)

Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более допустимой εдоп, если

Поскольку: (1) То: (2) Разложим далее Fε(s) по возрастающим степеням S в ряд, тогда (2) можно записать в виде: (3)

Пример Найти ошибку в САУ при: Если:

Решение: 1. Найдем

2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель — —

Ограничимся первыми тремя членами ряда, т. к. входной сигнал X(t) имеет лишь три не нулевых первых производных.

3. Итак: (5) Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты ошибок: С 0=0 (6)

4. Определим далее производные от X(t): (7)

Im K 2>K 1 К 2 -1; j 0 wp(jω) Re

v=1 (астатическая САУ с астатизмом первого порядка) с0=0 с1≠ 0 с2≠ 0 …, т. е. такая система не будет иметь ошибки в режиме покоя. v=2 (астатическая САУ с астатизмом второго порядка) с0=0 с1=0 с2≠ 0 с3≠ 0 …, такая система не будет иметь ошибок не только в режиме покоя, но и при линейнонарастающем сигнале

Здесь сочетается (комбинируются) оба названных принципа: — Управление по возмущению (за счет измерения возмущения v(t) и выработки дополнительного управляющего сигнала компенсирующего действия возмущения); — Управление по отклонению или принцип обратной связи реализуется за счет главной отрицательной обратной связи и сигнала рассогласования и регулятора.

Для этого приравняем их передаточные функции. (1)

Достоинство принципа комбинированного управления в том, что он не изменяет (не ухудшает) устойчивости и качества переходных процессов. Однако, реализовать точно условие полной инвариантности практически невозможно.

ПРИМЕР Пусть: Найдем:

Структурная схема такой комбинированной следящей системы имеет вид: III II I x(s) w 1(s) y(s)

Итак, чтобы точно реализовать условие полной инвариантности в нашем примере необходимо: • реализовать канал I (тахогенератор) • реализовать канал II (это 2 -ая производная от угла) • реализовать канал III (это 3 -ая производная от угла) Точно это сделать практически нельзя. Кроме того, в реальных САУ имеется множество нелинейностей, которые мы не учитывали при выводе условия полной инвариантности. Поэтому часто используют частично-инвариантные САУ, т. е. САУ не имеющие ошибок лишь в некоторых режимах.

Источник