Абсолютные и относительные ошибки прямых измерений

Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях

1. Абсолютная погрешность

Оценить отклонение
каждого из результатов измерения от
истинной величины можно лишь при наличии
данных большого числа измерений с
использованием теории вероятности.
Однако на практике, в лабораторных
условиях проводят 3-5 измерений. В этом
случае абсолютная погрешность отдельного
i-го
измерения будет следующей:

|DА_i|
= |А_СР
— А_i|,

где
А_СР
— средняя величина размера А. Средняя
арифметическая величина всех ½DА_i½
значений

называется
абсолютной погрешностью опыта.
Окончательный результат изме­рения
может быть записан в виде

А = А_СР
±
DА_СР,

где
А — искомая величина, которая лежит
внутри интервала

А_СР
±
DА_СР.

Н

14

апример, если сделаем несколько
измерений длины заготовки в столярной
мастерской и получим среднее значение
l_СР
= 75.5 см, а среднее
арифметическое абсолютной погрешности
l_СР
= 0.3 см, то результат
запишется в виде

l
= (75.5 ± 0.3) см.

Это
означает, что истинное значение длины
заготовки лежит в интервале от 75.2 см до
75.8 см. При этом не имеет смысла вычислять
среднее значение с большим числом знаков
после запятой, так как от этого точность
не увеличивается.

2. Относительная погрешность

Абсолютная
погрешность измерения не характеризует
точности проведенных измерений. Поэтому
для того, чтобы сравнить точность
различных измерений и величин разной
размерности, находят среднюю относительную
погрешность результата (Е_А).
Относительная погрешность определяется
отношением абсолютной погрешности к
среднему арифметическому значению
измеряемой величины, которая определяется
в процентах:

Е_А=100%.

Относительная
погрешность показывает, какая часть
абсолютной погрешности приходится на
каждую единицу измеренной величины.
Это дает возможность оценить точность
проведенных измерений, качество работы.

Так,
например, пусть при измерении бруска
длиной l
= 1.51 см была допущена абсолютная
погрешность 0.03 мм, а при измерении
расстояния от Земли до Луны L
= 3.64^.10⁵
км абсолютная погрешность составила
100 км. Может показаться, что первое
измерение выполнено намного точнее
второго. Однако о точности измерения
можно судить по относительной погрешности,
а она показывает, что второе измерение
было выполнено в семь раз точнее первого:

E_l
=

100% = 0.2%

и
Е_L
=
100%
= 0.03%.

Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях

В
большинстве случаев при выполнении
физических экспериментов исследуемая
величина не может быть измерена
непосредственно, а является функцией
одной или нескольких переменных,
измеренных непосредственно. При косвенных
измерениях абсолютная и относительная
погрешности результатов измерений
находятся вычислением через абсолютные
и относительные погрешности непосредственно
измеренных величин.

Использование формул дифференцирования

Для
определения абсолютных и относительных
погрешностей искомой величины при
косвенных измерениях можно воспользоваться
формулами дифференцирования, потому
что абсолютная ошибка функции равна
абсолютной ошибке аргумента, умноженной
на производную этой функции, то есть
полному дифференциалу функции.

Рассмотрим
это более подробно. До­пустим, что
физическая величина А является функцией
многих переменных:

A
= f
(x,
y,
z
…).

Правило
I. Вначале
находят абсолютную погрешность величины
А, а затем относительную погрешность.
Для этого необходимо:

1) Найти полный
дифференциал функции

.

2

16

) Заменить бесконечно малые dx, dу,
dz, … соответствующими абсолютными
ошибками аргументовDx,
Dy,
Dz,
… (при этом знаки «минус» в абсо­лютных
ошибках аргументов заменяют знаками
«плюс», так чтобы величина ошибки
была максимальной):

.

Применяя
это правило к частным случаям, получим:

—
абсолютная погрешность суммы равна
сумме абсолютных погрешностей слагаемых.
Если X
= a
+ b,
то DX
= Da
+ Db;

—
абсолютная погрешность разности равна
сумме абсолютных погрешностей
уменьшаемого и вычитаемого. Если X
= a
— b,
то DX
= Da
+ Db;

—
абсолютная погрешность произведения
двух сомножителей равна сумме произведений
среднего значения первого множителя
(a_CP)
на абсолютную погрешность второго и
среднего значения второго множителя
(b_CP)
на абсолютную погрешность первого. Если
X
= а 
b,
то DX
= a_CP

Db
+ b_CP

Dа.
Если X
= a ⁿ
, то DX
= n 
а_CP^n-1

Dа;

—
абсолютная погрешность дроби равна
сумме произведения знаменателя на
абсолютную погрешность числителя и
числителя на абсолютную погрешность
знаменателя, деленной на квадрат
знаменателя. Если X
=,
то DX=.

3) По определению
найдем относительную погрешность

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  12.02.2015183.3 Кб27Пример работы по теме ПЕРЕСКАЗ.doc

• #

Е.И.
Батурина (ГУО «Средняя школа № 39 г. Могилева»)

Лабораторная работа № 5
«Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений»

Цель урока: обеспечить условия для
расширения знаний учащихся о причинах, приводящих к появлению погрешностей;
классификации погрешностей; о способах записи приближенных чисел;

способствовать развитию умений
планировать и проводить физический эксперимент, обрабатывать результаты, делать
выводы;

обеспечить формирование умений
определять абсолютную и относительную погрешности прямых измерений и
представлять результат измерений в интервальной форме;

воспитывать наблюдательность,
внимательность, аккуратность, чувство коллективизма.

 Оборудование: металлический
шарик на нити длиной 1 м, секундомер, штатив с лапкой, треугольник.

Ход работы:

Актуализация опорных знаний о шкале прибора, цене
деления шкалы, точности отсчета, прямых и косвенных измерениях.

            Актуализацию опорных знаний можно провести
в процессе работы с простейшими измерительными приборами (линейка, мерная
лента, секундомер), предложив учащимся ответить на следующие вопросы.

      1.
Какая цена деления шкалы каждого прибора?

      2. Какие физические величины можно непосредственно
измерить, т.е. провести непосредственные измерения, данными приборами?

                  Ответ. Длину, промежуток времени.

      3. Какая точность отсчета при работе с данными приборами?

                  Ответ. Точность измерения равна цене
деления шкалы прибора.

      4. Приведите примеры прямых и косвенных
измерений.

            Ответ. В
зависимости от того, каким способом получается значение измеряе­мой величины,
различают погрешности прямых (непосредственных) и косвенных измерений. Прямыми
называются измерения, в результате ко­торых значение измеряемой величины
получается сразу по шкале прибора (например, измерение длины штангенциркулем)
или при помощи какого-либо способа сравнения с эталоном (например, взвешивание
на рычажных весах). Косвенные — это такие измерения, когда для нахождения
некоторой физической величины сначала измеряют прямыми измерениями несколько
других величин, а затем по их значениям с помощью каких-либо формул вычисляют
значение искомой величины. Одну и ту же величину часто можно найти путем как
прямых, так и косвенных измерений. Например, скорость автомобиля может быть
определена по спидометру (прямое измерение) или найдена делением пройденного
расстояния на время движения (косвенное измерение).

            5.
Какие виды погрешностей вы
знаете?

            Ответ. В зависимости от причин, приводящих к возникновению
погрешностей, различают их следующие виды.

Промахи — грубые ошибки в значениях измеряемой величины.
Промахи, как правило, вызываются невнимательностью. Они могут возникать также
вследствие неисправности прибора. От промахов не застрахован никто, однако по
мере приобретения экспериментальных навыков вероятность промахов заметно
уменьшается.

Систематические погрешности — такие погрешности, которые соответствуют
отклонению измеряемой величины от ее истинного значения всегда в одну сторону —
либо в сторону завышения, либо в сторону занижения. При повторных измерениях в
тех же условиях величина погрешности остается неизменной. При закономерных
изменениях условий погрешность также меняется закономерно.

Систематические погрешности могут возникать по ряду
причин, вот некоторые из них:

несоответствие прибора эталону (например,
пластмассовые линейки с течением времени обычно укорачиваются на несколько
миллиметров, се­кундомер может иметь неправильный ход — спешить или отставать
на не­сколько секунд в сутки).

неправильное использование прибора (например,
перед взвешиванием не установлено равновесие ненагруженных весов).

пренебрежение поправками, которые нужно ввести
в результаты измерения для достижения требуемой точности (например, не учтена
зависимость температуры кипения воды от атмосферного давления).

Систематические погрешности, обусловленные некоторыми
из этих причин, могут быть сведены к минимуму проверкой приборов, их тщательной
установкой, анализом необходимых поправок и т.д.

Случайные погрешности. Даже
при очень строгом соблюдении одних и тех же условий повторные измерения одной и
той же величины, как правило, приводят к значением, отличающимся друг от друга,
Эта разница в значениях может вызываться причинами самой различной природы.
Отклонения от истинного значения при этом могут быть как в сторону увеличения,
так и в сторону уменьшения, причем величина отклонения также может быть
различной.

Случайные погрешности вызываются большим числом
неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения. Такие причины могут
быть объективными (неровности на поверхности измеряемого предмета; дуновение
воздуха, ведущее к изменению температуры; скачкообразное из­менение напряжения
электрической сети и т. п.) и субъективными (разная сила зажима предмета между
ножками штангенциркуля, неодинаковое рас­положение глаза по отношению к шкале
прибора, различное запаздывание при включении секундомера и т.п.). Эти причины
могут сочетаться в раз­личных комбинациях, вызывая то увеличение, то уменьшение
значения из­меряемой величины. Поэтому при измерениях одной и той же величины
не­сколько раз получается, как правило, целый ряд значений этой величины,
отличающихся от истинного значения случайным образом).

Приборные погрешности. Предполагая,
что приборные погрешности, имеющие систематический характер, устранены (весы
выставлены по отвесу и уравновешены в отсутствие нагрузки, стрелка отключенного
электроизмерительного прибора показывает на нуль, часы выверены по сигналам
точного времени и т. д.), мы все приборные погрешности будем относить к
случайным. Такие погрешности могут возникать при изготовлении приборов или при
их градуировке. Обычно довольствуются сведениями о допустимых приборных
погрешностях, сообщаемых заводами-изготовителями в паспортах, прилагаемых к
приборам. Завод ручается, что погрешности отсчета по прибору не выходят за
пределы, указываемые в паспорте. При этом остаются неизвестными ни конкретная
величина, ни знак погрешности, получающейся в результате отдельного измерения
данным прибором. Поэтому такие погрешности следует относить к случайным
погрешностям с достаточно большой доверительной вероятностью (порядка 0,95 и
выше). Допустимые погрешности обычно включают в себя и те, которые могут
возникнуть при приведении приборов в рабочее состояние (установке на нуль и т.п.)
при условии выполнения заводской инструкции.

Абсолютная погрешность находится как сумма перечисленных
погрешностей.

Кроме абсолютной погрешности результат также
характеризуется еще и относительной погрешностью, т.е. отношением
абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению измеряемой величины.
Относительная погрешность выражается в виде десятичной дроби или в процентах и
показывает качество измерения. Если при измерениях получена относи­тельная
погрешность более 10%, то говорят, что произведено не измерение, а лишь оценка
измеряемой величины. В лабораториях физического практикума относительная
погрешность обычно составляет 1-10%. В научных же лабораториях измерения
некоторых физических величин, таких, например, как длина световой волны,
осуществляется с точностью порядка миллионной доли процента.

6.
Как производится запись
приближенных чисел?

Ответ. Поскольку значения физических величин, полученные в
результате измерений, имеют погрешности, они выражаются не точными, а
приближенными числами. Незначащими цифрами приближенного числа
называются нули, стоящие слева в десятичных дробях до первой отличной от нуля
цифры, и нули, поставленные в конце числа, вместо цифр, отброшенных при
округлении. Остальные цифры называются значащими. Например, в
числе 0,0123 значащие цифры 1,2,3; в числе 508000, полученном округлением числа
507893, три нуля – незначащие. В конце числа могут быть и значащие нули. Так,
например, во втором числе выражения 5 км = 5000 м нули не заменяют отброшенные
при округлении цифры, а выражают точное соотношение между единицами длины.

Для того, чтобы числа не содержали незначащих нулей,
их принято за­писывать в показательной (экспоненциальной) форме с запятой после
первой значащей цифры. В этом случае числа предыдущих примеров имеют

вид: 0,00123 = 1,23;
508000 = 5,08.
Значащие нули при такой записи не отбрасываются: 5 км = 5,000м.

В числах, выражающих значения, для которых указана
погрешность, последняя цифра (сомнительная) стоит в том же разряде, что
и первая зна­чащая цифра погрешности. Цифры, находящиеся в следующих разрядах
как самого числа, так и его погрешности, должны быть отброшены как неверные по
правилам округления, причем погрешность округляют всегда в сторону увеличения.
Таким образом, сама погрешность содержит только одну значащую цифру. Однако,
если первая цифра погрешности единица, то в погрешности оставляют две цифры, а
в самом числе сохраняют лишний разряд. Наконец, если данное число не является
окончательным результатом, а будет участвовать в каких-либо вычислениях, то в
нем, как и в его погрешности сохраняют лишний разряд.

Запись окончательного результата измерения. В записи окончательного результата измерения
должны содержаться:

название измеряемой величины и ее буквенное
обозначение;

наиболее вероятное значение измеряемой величины, т.е.
значение, получающееся в результате отсчета по прибору, если измерение проводилось
однократно, или среднее арифметическое этих отсчетов, если измерение
проводилось несколько раз.

полная абсолютная погрешность измеряемой величины;

единица измерения, в которой выражена измеряемая
величина и ее полная абсолютная погрешность;

доверительная вероятность результата;

относительная погрешность, выраженная в виде
десятичной дроби или в процентах.

            При записи результата измерения следует
соблюдать приведенные выше правила записи приближенных чисел.

Порядок выполнения работы

1. К лапке штатива прикрепите нить с
шариком (рисунок). Отведите шарик в сторону (точку А) так, чтобы нить составила
с вертикалью угол α = 30⁰ (определяется треугольником). Отпустите
шарик и, одновременно нажав на кнопку секундомера, измерьте минимальный промежуток
времени, через который шарик снова окажется в точке А. Полученный результат
занесите в таблицу.

2. Повторите опыт не менее пяти раз,
записывая результаты измерений в таблицу.

3. Вычислите и занесите в таблицу среднее значение
промежутка времени:                 

                                        

4. Вычислите абсолютную
случайную погрешность при каждом измерении и среднее значение  при
пяти измерениях:

    , . . . ,   ;                                        

Результаты вычислений занесите в таблицу.

           ∆ t_случ1 = = 0,04 с

           ∆ t_случ2 = = 0,04 с

           ∆ t_случ3 = = 0,04 с

           ∆ t_случ4 = = 0,16 с

           ∆ t_случ5 = = 0,04 с

           = 0,064 с

5. Определите максимальное
значение случайной погрешности:

. Результаты вычислений занесите в таблицу.

          ∆ t_случ   = 3 0,064 с = 0,192 с

6. Определите и занесите в
таблицу значение абсолютной систематической погрешности:    

Предельную погрешность  секундомера найдите по
таблице (см. приложение). Абсолютную погрешность отсчета  определите как цену деления
шкалы механического секундомера.

∆ t_пр = 1,5 0,2 с = 0,3 с,                   ∆ t_отсч = 0,2 с 

             ∆ t_сист  = 0,3
с + 0,2 с = 0,5 с

7. Вычислите и запишите в таблицу значение абсолютной
погрешности ∆ t прямого измерения промежутка
времени:

∆ t = 0,192 с +
0,5 с = 0,692 с, после округления до одной значащей цифры ∆ t = 0,7 с.

8.  Вычислите и занесите в таблицу
значение относительной погрешности  прямого измерения промежутка времени t:

            = 35 %

9. Запишите окончательный результат
измерений в интервальной форме:                              t  = (2,0 ± 0,7) с,   ε_t = 35 %

Таблица результатов:

№ опыта	t, с	│∆ tслуч │,с	∆ tслуч =3 ‹∆ tслуч ›,с	∆ tсист, с	∆ t,с	, %
1	2,0	0,04	—	—	—	—
2	2,0	0,04	—	—	—	—
3	2,0	0,04	—	—	—	—
4	2,2	0,16	—	—	—	—
5	2,0	0,04	—	—		—
Среднее	2,04	0,064	0,192	0,5	0,692	—
Оконча-тельный результат	2,0	—	—	—	0,7	35

Контрольные вопросы.

1.  
Почему нельзя абсолютно
точно измерить прибором физическую величину?

Ответ. Измерения
не могут быть выполнены аб­солютно точно. Всегда имеется некоторая
неопределенность в значении из­меряемой величины. Эта неопределенность
характеризуется погрешностью — отклонением измеренного значения величины от ее
истинного значения.

Приведем
некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей:

Ограниченная
точность измерительных приборов. Такие по­грешности могут возникать при
изготовлении приборов или при их градуи­ровке.

Действия
экспериментатора (включение секундомера с некоторым запаздыванием, различное
размещение глаз по отношению к шкале при­бора и т.п.).

Неполное
соответствие измеряемого объекта той абстракции, кото­рая принята для
измеряемой величины (например, при измерении объема пластинка считается
параллелепипедом, в то время как у нее могут быть за­кругления на ребрах).

2.   Будет ли одинаковой относительная погрешность
измерения промежутка времени, если нить с шариком отклонить на угол 45°? Почему?

 Ответ. Если нить с шариком отклонить на угол 45°, относительная
погрешность измерения промежутка времени может измениться, поскольку даже при очень строгом соблюдении одних и тех же условий
повторные измерения одной и той же величины, как пра­вило, приводят к
значениям, отличающимся друг от друга, что может привести к изменению случайной
погрешности. Измеряемый же промежуток времени останется прежним, т.к. период
колебаний математического маятника от угла отклонения нити не зависит (это можно
подтвердить опытным путем, если не учитывать сопротивление воздуха).

3.   Если при трех и более повторных измерениях данным
прибором получены одинаковые значения физической величины, то чему равны
абсолютные случайная и систематическая погрешности? Относительная погрешность?

Ответ. В
некоторых случаях при многократных измерениях получается одно и то же значение
измеряемой величины. В этом случае случайной погрешностью пренебрегают, хотя на
самом деле ее исчезновение связано с тем, что измерительный прибор недостаточно
чувствителен, чтобы уловить данную погрешность.

 Величина систематической погрешности при
повторных измерениях в тех же условиях оста­ется неизменной.

 Относительная
погрешность прямого измерения станет меньше, поскольку уменьшится абсолютная
погрешность измерения из-за пренебрежения случайной погрешностью.

     Выводы: выяснили, что при любом измерении физической величины
возникают неточности, вытекающие из несовершенства конструкции измерительного
прибора и  из погрешностей измерений, связанных с действиями экспериментатора
(включение секундомера с некоторым запаздыванием, различное размещение глаз по
отношению к шкале при­бора и т.п.) и объективными условиями (неровности на поверхности измеряемого предмета; дуновение воздуха и т.д.).

Научились
определять абсолютную и относительную погрешности прямых измерений,
представлять результат в интервальной форме. В результате получили: t  = (2,0 ± 0,7)
с,   ε_t = 34 %. Поскольку относительная
погрешность не должна превышать 10 %, то можно сделать вывод, что для измерения
столь малого промежутка времени нельзя было использовать механический
секундомер (предельная абсолютная погрешность в 1,5 цены деления шкалы за один
оборот секундной стрелки берется в случае измерения промежутка времени, равного
30 – 60 с). Поэтому в нашем случае  нужно было использовать электронный
секундомер с большой точностью измерения.

Домашнее задание: изучить приложение «Обработка
результатов измерений. Оценка погрешностей» (Исаченкова Л.А., Пальчик Г.В. «Физика,
9 класс», МН.: Народная асвета, 2006, стр.188-193)

Методические рекомендации по
выполнению лабораторной
работы:

Данная лабораторная работа выделяется
из ряда других работ тем, что ее выполняет учитель, а учащиеся вместе с ним
проводят соответствующие расчеты. Это обусловлено тем, что самостоятельно
выполнить расчет погрешностей учащиеся не могут. Поэтому все этапы получения
экспериментальных данных и их обработки учитель проводит сам, детально объясняя
учащимся цель каждого шага. Такое скурпулезное выполнение измерений и расчет
абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений, выполненные учителем
совместно с учащимися, позволяет им в дальнейшем самостоятельно рассчитывать
абсолютные и относительные погрешности прямых измерений соответствующих величин
в последующих лабораторных работах.

Для удобства проведения
эксперимента предлагаем два вида установок:

1.    Установка состоит из листа
картона (1), на котором отмечена вертикальная линия и угол в 30⁰.
Картон закреплен жестко на оси от рычага (2), зажатом в лапке штатива (штатив
на рисунке не изображен). Нить с шариком закрепляется на оси, но не вплотную к
картону.

2.    На демонстрационный стол положить метровую
линейку так, чтобы шарик в положении равновесия находился напротив отметки 50
см, а затем отклонить его до отметки 0
см (в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы). Некоторая
неточность такого метода несущественна, т.к. период колебаний математического
маятника не зависит от угла отклонения нити.

Можно выполнить эту работу,
разделившись на три группы: первая будет проводить измерения механическим
секундомером, вторая – электронным секундомером с ценой деления 0,1 с, третья —
электронным секундомером с ценой деления 0,01 с (такие секундомеры имеются на
различных моделях мобильных телефонов). Тогда легко будет сделать вывод о влиянии
точности прибора на величину погрешности.

Таблица результатов, полученных при
использовании электронного секундомера с ценой деления 0,1 с:

№  опыта	t, с	│∆ tслуч │,с	∆ tслуч =3 ‹∆ tслуч ›,с	∆ tсист, с	∆ t,с	, %
1	2,0	0	—	—	—	—
2	2,0	0	—	—	—	—
3	1,9	0,1	—	—	—	—
4	2,0	0	—	—	—	—
5	2,1	0,1	—	—		—
Среднее	2,0	0,04	0,12	0,15	0,27	—
Оконча-тельный результат	2,0	—	—	—	0,3	15

      t  = (2,0 ± 0,3)
с,   ε_t = 15 %

Таблица результатов, полученных при использовании
электронного секундомера с ценой деления 0,01 с:

№ опыта	t, с	│∆ tслуч │,с	∆ tслуч =3 ‹∆ tслуч ›,с	∆ tсист, с	∆ t,с	, %
1	2,02	0,040	—	—	—	—
2	2,11	0,086	—	—	—	—
3	1,99	0,034	—	—	—	—
4	2,03	0,006	—	—	—	—
5	1,97	0,054	—	—		—
Среднее	2,024	0,044	0,132	0,015	0,147	—
Оконча-тельный результат	2,02	—	—	—	0,15	7

      t  = (2,02 ± 0,15)
с,   ε_t = 7 %