Абсолютной ошибкой приближенного значения некоторой величины называют

1.1.
Источники и классификация погрешностей

1.2.
Абсолютная и относительная погрешности.
Форма записи данных

1.3. Вычислительная
погрешность. Погрешность функции

1.4. Понятия о
погрешности машинной арифметики

1.1. Источники и классификация погрешностей

Источниками
возникновения погрешности численного
решения задачи являются:

1. Неточность
   математического описания, в частности,
   неточность задания начальных данных.

2. Неточность
   численного метода решения задачи.

(Данная
причина, например, возникает когда
решение математической задачи требует
неограниченного или неприемлемо большого
числа арифметических операций, что
приводит к необходимости ограничения
их числа, т.е. использования приближенного
решения.)

1. Конечная
   точность машинной
   арифметики.

Виды погрешностей:

1. Неустранимая
   погрешность

2. Погрешность
   метода.

3. Вычислительная
   погрешность.

Неустранимая
погрешность
состоит из двух частей: а) погрешность,
обусловленная погрешностью задания
числовых данных, входящих в математическое
описание задачи; б) погрешность, являющаяся
следствием несоответствия математического
описания задачи реальной действительности
(погрешность математической модели).
Для вычислителя погрешность задачи
следует считать неустранимой, хотя
постановщик задачи иногда может ее
изменить.

Результирующая
погрешность определяется как сумма
величин всех перечисленных выше
погрешностей.

Погрешность
метода
связана со способом решения поставленной
математической задачи. Она появляется
в результате замены исходной математической
модели другой и/или конечной
последовательностью других более
простых (например, линейных) моделей.
При создании численных методов
закладывается возможность отслеживания
таких погрешностей и доведения их до
сколь угодно малого уровня. Отсюда
естественно отношение к погрешности
метода как устранимой (или условной).

Вычислительная
погрешность
(погрешность округлений) обусловлена
необходимостью выполнять арифметические
операции над числами, усеченными до
количества разрядов, зависящего от
применяемой вычислительной техники.

1.2. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных

Определение
1.1. Если a

точное значение некоторой величины и
a^

известное приближение к нему, то
абсолютной погрешностью приближенного
значения a^
называют некоторую величину
,
про которую известно, что

.
(1.1)

Определение
1.2. Относительной
погрешностью приближенного значения
называют некоторую величину
,
про которую известно, что

.
(1.2)

Относительную
погрешность часто выражают в процентах.

Определение
1.3. Значащими
цифрами числа называют все цифры в его
записи, начиная с первой ненулевой
слева.

Пример
1.1

(Здесь цифры,
записанные курсивом, значащие)

Определение
1.4. Значащую
цифру называют верной, если модуль
погрешности числа не превосходит единицы
разряда, соответствующего этой цифре.

Пример
1.2

(Здесь цифры,
записанные курсивом, верные)

Определение
1.5. Если все
значащие цифры верные, то говорят, что
число записано со всеми верными цифрами.

Иногда
употребляется термин число
верных цифр после запятой:
подсчитывается
число верных цифр после запятой от
первой цифры до последней верной цифры.

Довольно
часто информация о некоторой величине
задается пределами измерений

.

Принято
записывать эти пределы с одинаковым
числом знаков после запятой, так как
обычно достаточно грубого представления
о погрешности. В записи чисел a₁,
a₂
обычно берут столько значащих цифр,
сколько нужно для того, чтобы разность
содержала одну, две значащие цифры.

Информацию
о том, что
является приближенным значением числаa
с абсолютной погрешностью
,
принято также записывать в виде

.
(1.3)

Числа
,принято записывать с одинаковым
количеством знаков после запятой.

Пример 1.3

Информацию
о том, что
является приближенным значением числаа
с относительной погрешностью
записывают в виде

.

Пример 1.4

(Данная запись
числа эквивалентна записи чисел из
примера 1.2)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Раздел
1

Приближенные
числа и действия над ними

Лекция 1.

1.1.
Приближенное
значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

План лекции

1.       Приближенное значение величины. Погрешность

2.       Численные методы

3.       Абсолютная и относительная погрешности

1. Приближенное значение величины.
Погрешность

В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с
различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа
дают истинное значение величины числа, приближенные – близкое к истинному,
причем степень близости определяется погрешностью вычисления.

Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5
пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 –
точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу
около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 – приближенные. Измерение ширины
дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными;
кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При
взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не
чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно
подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут
быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья
были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники
включены в счет количества деревьев.

Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение
величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным
значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное
значение приближенным в целях упрощения вычислений.

Таким образом, приближенным
числом а называется число, незначительно
отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.

При решении той или иной задачи вручную или на
вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не
является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с
массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью
точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее
решения, т. е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.

Источниками погрешностей (ошибок) могут быть:

1) неточное отображение реальных процессов с помощью
математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его
идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы
можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие
решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи
невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами,
близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;

2) приближенное выражение величин, входящих в условие
задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных,
физических констант, чисел π, е и др.;

3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются
искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся
погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса
на некотором этапе. Например, если в ряде

sin x = x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…

взять определенное количество членов и принять их сумму за
sin х, то мы, естественно, допускаем погрешность;

4) округление исходных данных, промежуточных или
окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное
число цифр числа.

При отбрасывании младших разрядов числа имеет место
погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку
электронной цифровой вычислительной машины с разрядной сеткой, допускающей
запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить
так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное
число примет следующий вид: 0,7835479;

5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут
появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае
погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат
вычислений.

Полная погрешность является результатом сложного
взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или
иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной
погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все
их виды.

Во всех случаях полная погрешность не может превышать по
своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но
обычно она редко достигает такой максимальной величины.

Таким образом, погрешности можно подразделить на три
большие группы:

1) исходные, или неустранимые, к которым относятся
погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов
и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с
действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все
вычисления и, являются неустранимыми;

2) погрешности округления (зарождающиеся), которые
появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и
окончательных результатов;

3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных
процессов конечной последовательностью действий;

2. Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение
математических задач не удается. Это происходит главным образом не потому, что
мы не умеем это сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в
привычным для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное
значение приобрели методы, особенно в связи с возрастанием роли математических
методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных
ЭВМ.

Под численными методами подразумевается методы решения
задач, сводящиеся к арифметическим и некоторых логическим действиям над
числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В зависимости от сложности задачи, заданной точности,
применяемого метода и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков
многих миллиардов действий. Если число действий не превышают тысячи, то с такой
задачей обычно может справиться человек, имя в распоряжении калькулятор и набор
таблиц элементарных функций. Однако без ЭВМ явно не обойтись, если для решения
задач нужно выполнить, скажем, порядка миллиона действий и тем более, когда
решение должно быть найдено в жатые сроки.

Решение, полученное численным методом, обычно является
приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.

Оценка погрешности может быть произведена: с помощью
абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью
остаточного члена; с помощью статистических оценок.

При работе с приближенными величинами вычислитель должен
уметь:

а) давать математические характеристики точности
приближенных величин;

б) зная степень точности исходных данных, оценить степень
точности результатов;

в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы
обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком
завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных
расчетов;

г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы
избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.

3. Абсолютная и относительная
погрешности

Пусть a – точное, вообще говоря, неизвестное
числовое значение некоторой величины.

a* –
известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).

Абсолютная величина разности между точным числом и его
приближенным значением  называется абсолютной погрешностью приближенного числа:

                                    
                                                                                   (1)

Здесь возможны два случая.

1. Точное чиcло а нам известно. Тогда абсолютная;
погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1).

Пример 1. Пусть a
= 784,2737, a* = 784,274; тогда; абсолютная погрешность Δа
= |а- a*| = |784,2737—784,274| = 0,0003.

2. Точное число a нам неизвестно, тогда вычислить
абсолютную погрешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием
границы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству

|a — a*|  Δ_а*

Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо
превышающее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется
предельной абсолютной погрешностью.

Следовательно, если Δ_а* – предельная
абсолютная погрешность, то

Δ(а*) = |а- a*| Δ_а*                                                                                                                 (2)

Значение точного числа А всегда заключено в следующих
границах:

a* — Δ_а* a  a* + Δ_а*.                                                                                                            (3)

Выражение a* — Δ_а* есть приближение числа
a по недостатку, а а + Δ_а* – приближение числа a
по избытку. Значение числа a записывается так:

a = а ± Δ_а*                                                                                                                                 (3′)

На
практике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01»; «с точностью до
1 см и т. д. Это означает, что предельная абсолютная погрешность соответственно
равна 0,01; 1 см и т. д.

Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05
см, то пишут l= 184 см ±0,05 см. Здесь предельная абсолютная
погрешность Δ_l*= 0,05 см, а точная величина
длины l отрезка заключена в следующих
границах: 183,95 см  l  184,05 см.

По
абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или
плохо произведено измерение.

Пример 5. Пусть при измерении книги и
длины стола были получены результаты: l₁ =
28,4 ±0,1 (см) и l₂ = 110,3 ±0,1 (см). И в первом, и во
втором случае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако
второе измерение было произведено более точно, чем первое.

Для
того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить,
какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от
измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Относительной
погрешностью _а приближенного числа а называется
отношение абсолютной погрешности Δ_а к модулю точного числа А
(А0), т.е.

_а=                                          (4)

Отсюда

Δ_а = |A| _а                                         (4’)

Число
^*_а, заведомо
превышающее относительную погрешность (или в крайнем случае равное ей),
называется предельной относительной погрешностью:

_а^*_а
.         
                               (5)

Из
соотношений (4) и (5) вытекает, что

^*_а; Δ_а|A| _а*.

Из
определения предельной абсолютной погрешности следует, что Δ_аΔ_а^*_.
Тогда можно записать

Δ_а^*=|A| _а*.          
                        (6)

и
за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно
принять

_а* = .                                         (7)

Учитывая,
что А, как правило, неизвестно и  что А  а,
равенства (6) и (7) можно записать так:

Δ_а^*=|a| _а*,                                        
(6′)

_а* = .                                         (7’)

Очевидно, что как
относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность
представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых
выражаются результаты измерений.

X	Δx	Y	Δy
50030’10’’	3’’	45015’36’’	2’’

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями  0,5 см  и линейка с
делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5
см  от истинной, не
должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае 
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата  А4  равна  (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно  (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной  погрешности не
превышает  1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает  0,1 см на  29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 
1 км 
на  650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата  А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах. 

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь  14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины 
b 
стекла и длины  l  книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до  0,1,

l ≈ 100 с
точностью до  0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит  0,1. Однако  0,1  составляет
существенную часть числа  0,4  и
ничтожную часть числа  100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что  b ≈ 0,4  с точностью до  0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит  0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит  25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до  25%,
а во втором – с относительной точностью до  0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в  1
см,  при измерении длины отрезков  10
см  и  10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны  10%  и  0,1%. Для
отрезка длиной в  10 см  погрешность
в  1
см  очень велика, это ошибка в  10%. А для десятиметрового отрезка  1 см  не имеет значения, эта ошибка всего в   0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50
г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность 
100 г, 150 г  и вообще всякое
число, большее чем  50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а, 

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения —  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.