Абсолютная ошибка определения массы

Обработка результатов измерений

Любая
лабораторная работа по физической химии
сводится к определению численных
значений конкретных физико-химических
величин. Последние находятся путем
расчётов по уравнениям с использованием
результатов измерений, которые всегда
содержат некоторую погрешность
(ошибку).
Погрешность имеют и табличные данные.

Погрешности,
в зависимости от источников их
происхождения, подразделяются на грубые,
систематические
и случайные.
Грубые
ошибки (промахи)
связаны обычно с невнимательностью
экспериментатора, и их довольно легко
обнаружить при повторных измерениях.
В дальнейшем предполагается, что грубые
промахи студентом не допускаются.

Систематические
погрешности обусловлены дефектами
измери­тельной аппаратуры, её
неправильной установкой, применением
недостаточно чистых реактивов,
использованием приближённых уравнений
и недостаточно точных констант,
отсутствием контроля постоянства
условий проведения эксперимента,
например температуры. При повторных
измерениях систематические ошибки
обычно остаются постоянными. Если же в
процессе проведения эксперимента
условия, определяющие состояние системы,
изменяются, возможно существенное
изменение систематической ошибки.

Исключить
систематические ошибки можно проверкой
оборудования по эталонным образцам,
его калибровкой, использованием других,
более точных методов и уравнений,
введением соответствующих поправок.

Часто
при повторных измерениях одной и той
же величины получа­ются несколько
отличающиеся друг от друга результаты,
что связано с невозможностью поддержания
строгого постоянства условий эксперимента.
Последние испытывают случайные колебания
и являются причиной появления случайных
погрешностей
измерений. Случайные
погрешности независимы друг от друга.
Они
обусловлены факторами, которые практически
невозможно контролировать и учесть и
которые при повторных измерениях могут
действовать на результаты измерений
по-разному. Исключить эти ошибки нельзя,
но их можно учесть, проведя серию
повторных измерений и статистическую
обработку результатов последних.

Разделение
ошибок на систематические и случайные
весьма условно. Например, если для
приготовления серии растворов использовать
несколько колб, то погрешность их объёмов
выступает как случайная ошибка. Но если
эта серия растворов приготовлена с
использованием лишь одной колбы, то
погрешность её объёма является
систематической, поскольку во всех
случаях постоянна и её значение
присутствует во всех результатах.

При
определении величины погрешности
физико-химического параметра, измеряемого
в ходе конкретного эксперимента, характер
погрешности, как правило, безразличен,
важна величина общей погрешности, равная
сумме систематической и случайной
ошибок.

Результаты
измерений и вычислений характеризуются
правиль­ностью
и воспроизводимостью.
Под воспроизводимостью
понимают разброс результатов параллельных
измерений относительно среднего
значения. Чем этот разброс меньше, тем
воспроизводимость выше. При отсутствии
систематических ошибок воспроизводимость
определяется случайными ошибками. Если
чувствительность прибора недостаточна,
случайные погрешности могут не проявиться
и тогда бессмысленно говорить об учёте
случайных ошибок. Из теории ошибок
следует, что если они подчиняются
распределению Гаусса (в дальнейшем это
подразумевается), среднее арифметическое
результатов достаточно большого числа
отдельных измерений наиболее близко к
истинному значению измеряемой величины.

Правильность
результата характеризуется отклонением
среднего арифметического от истинного
значения и определяется наличием
систематических ошибок. Хорошая
воспроизводимость результатов не
означает их правильности, поскольку
результат может содержать очень большую
постоянную систематическую погрешность.

Погрешность
конкретного результата измерения
величины х_i
(если
произведено n
измерений) можно выразить через абсолютную
ошибку x_i,
являющуюся разностью между х_i
и истинным значением х
(средним арифметическим
=х_i/n,
если ошибки случайные). Относительная
погрешность _i=x_i/

более наглядно характеризует точность
измерения. Для серии из n
измерений величины х
средняя абсолютная ошибка х=х_i/
.
Абсолютная погрешность имеет размерность
измеряемой величины, относительная
погрешность безразмерная.

В
физико-химическом эксперименте значение
определяемой величины обычно рассчитывают
из некоторого уравнения, в которое
входят параметры, имеющие определённую
погрешность. Для нахождения относительной
погрешности

величины у,
являющейся функцией независимых
переменных ,,
и т.д., выражаемой уравнением у=f(,,,…)
при условии, что

,
необходимо прологарифмировать это
уравнение и продифференцировать
полученный натуральный логарифм, т.е.

Так
как знаки отдельных погрешностей
неизвестны, предполагается наихудший
вариант, когда они одинаковы и вклады
всех ошибок складываются. Поэтому, если
после описанных выше математических
операций получается полином, отдельные
слагаемые в котором отрицательные, то
знак минус перед ними заменяется плюсом.

Относительные
погрешности некоторых простых функций
приведены в таблице 1, в которой а
– точная константа. В случае более
сложного уравнения (например, выражение
для энтальпии реакции Н
через ЭДС и её температурный коэффициент),
его необходимо представить как комбинацию
более простых соотношений.

Таблица 1

Погрешности
некоторых функций

№	Функция	Относительная погрешность	№	Функция	Относительная погрешность
1 2 3	y = ах y = x + z y = x — z	у = х	4 5 6 7	y = xz y = xa y = ln x

Если
определяемая величина является
логарифмической функцией (в том числе
рН, рК), то обычно находят её абсолютную
погрешность, а не относительную. Как
следует из формулы (7), абсолютная
погрешность натурального логарифма
равна относительной погрешности
логарифмируемого выражения.
Если логарифм десятичный, то сначала
необходимо перейти к нату­ральному,
после чего воспользоваться формулой
(7).

Погрешность
исходных данных определяется погрешностью
используемых приборов (указывается в
паспорте прибора). Если она неизвестна,
то обычно принимается равной половине
наименьшего деления шкалы. Погрешность
приборов соответствует паспортному
значению лишь при правильном их
использовании.

Погрешность
весов зависит от их конструкции.
Погрешность мерной посуды, в соответствии
с ГОСТом, не должна превышать значений,
указанных в таблице 2. Погрешность
бюреток объёмом 50 и 25 мл равна соответственно
0,12 и 0,10 мл.

Погрешность
табличных величин учитывается так же,
как и погрешность результатов измерений.
При этом, если она не оговаривается, то
принимается равной половине единицы
последнего десятичного разряда. Например,
подвижность иона Н₃О⁺
равна 349,8, следовательно, её абсолютная
погрешность 0,05.

Часто
некоторые величины приходится определять
графически, например, путем экстраполяции,
интерполяции, через тангенс угла наклона
линейного участка графика или касательной
к кривой. В подобных случаях при построении
графика необходимо выбрать такой
масштаб, чтобы график не был источником
значительной погрешности, т.е. для
построения необходим достаточно большой
лист бумаги¹.

Таблица 2

Допустимая
абсолютная погрешность объема мерной
посуды

Колбы	Пипетки с одной меткой	Пипетки с подразделениями
Ёмкость, мл	V, мл	Ёмкость, мл	V, мл	Ёмкость, мл	V, мл
1000 500 250 200 100 50	0,60 0,30 0,20 0,20 0,20 0,10	50; 40 25 20; 15 10 5 2; 1	0,12 0,10 0,06 0,04 0,03 0,015	10 5 2 1	0,06 0,04 0,02 0,02

Если
точки графика укладываются
на прямую, т.е. выполняется уравнение

y
= а + bx,

то
для определения величин а
и b
выбирают на графике две точки с
координатами х₁,у₁
и
х₂,у₂
, расположенные,
по возможности, дальше друг от друга, и
константы а
и
b находят из
выражений

Погрешности
величин а и
b
можно найти, используя формулы (3) – (5)
таблицы 1, зная погрешности величин х
и у
и учитывая, что х
= _хх.
Поскольку при определении х₁
, у₁
,х₂ ,
и у₂
производится отсчёт их значений на
координатных осях, результат отсчёта
содержит соответствующую погрешность,
равную половине наименьшего деления,
и которую необходимо прибавить к
погрешности величины, изображаемой на
оси.

Численные
значения величин, имеющих погрешность,
выражаются приближёнными
числами. Используя приближённые числа,
следует соблюдать определённые правила.
При записи приближённого числа
предпоследняя цифра должна быть точной,
а последняя – сомнительной (т. е. содержать
погрешность). Большее число цифр,
записанных с отступлением от этого
правила, не увеличивает точности.
Точность величины выражается числом
значащих цифр в её численном выражении.
Значащими²
цифрами являются все цифры приближённого
числа, записанного правильно, кроме
первых нулей. Нули в конце числа значащие,
если они стоят на своем месте, а не
записаны вместо отсутствующих цифр.
Так, числа 628, 6,28, 0,00628, 6,2810^–5,
6,2810⁴
содержат три значащие цифры. Если вместо
последнего из приведенных чисел записать
62800, в этом числе останется три значащие
цифры.

Произведение
и частное приближенных чисел должно
содержать столько значащих цифр, а сумма
и разность – столько знаков после
запятой, сколько их имеется в наименее
точном исходном числе. Например, 42,6 
73,503 = 3,1310³,
а не 3131,2278, и 36,823 – 22,4 = 14,4, а не 14,423. У
логарифма значащие только цифры мантиссы,
т.е. его дробной части¹,
и последняя должна иметь столько цифр,
сколько их в логарифмируемом числе.
Поскольку при выполнении арифметических
действий погрешность накапливается,
необходимо стремиться сокращать, если
это возможно число таких действий. При
проведении цепочки вычислений оставляют
лишнюю цифру в промежуточных результатах,
конечный же результат округляется в
соответствии с изложенными выше
правилами. Применяя для вычислений
калькулятор, следует использовать его
память для исключения необоснованных
округлений промежуточных результатов.

В
качестве примера рассмотрим расчёт
относительной погрешности молярной
концентрации приготовленного раствора.
На технических весах взята навеска
хлорида натрия массой 3,28 г, которая была
растворена в воде в мерной колбе объёмом
250 мл. Молярная концентрация с
рассчитывается по уравнению

,

где
g
– масса навески, г, М
– молярная масса растворённого вещества,
V
– объём колбы, мл.

Как
следует из уравнений (4) и (5) таблицы 1,
относительная погрешность концентрации
равна сумме относительных погрешностей
всех величин, входящих в правую часть
формулы для концентрации. Однако 1000 –
число миллилитров в одном литре – по
определению величина точная, следовательно,
её погрешность равна нулю.

Относительная
погрешность массы навески _g
равна отношению абсолютной погрешности
взвешивания g
к массе навески. Последняя же находится
как разность между массой навески вместе
с сосудом, в котором производилось
взвешивание (бюкс, стаканчик), и массой
пустого сосуда. Поэтому погрешность
массы навески рассчитывается по уравнению
(3) таблицы 1, в котором абсолютные
погрешности обоих взвешиваний одинаковы
(так как использовались одни и те же
весы) и равны 0,02 г для технических весов.
Следовательно, абсолютная погрешность
массы навески g
равна 20,02
= 0,04 г. Поэтому относительная погрешность
массы навески составляет 0,04: 3,28 = 0,012.

Молярная
масса вещества – постоянная величина,
поэтому часто студенты ошибочно считают
её точной. Однако атомные массы элементов
определены с большей или меньшей
погрешностью, которая для разных
элементов различна, что следует из
разного числа значащих цифр в их
величинах. Если молярная масса вещества
рассчитана по атомным массам элементов,
входящих в его состав, то для нахождения
относительной погрешности следует
воспользоваться формулой (2), причём
абсолютные погрешности атомных масс
элементов необходимо умножать на число
этих атомов в молекуле. Поэтому удобнее
брать величину молярной массы из
справочника. Тогда её абсолютная
погрешность равна пяти в первом
отсутствующем разряде. Молярная масса
хлорида натрия равна 58,44, следовательно,
её абсолютная погрешность составляет
0,005, а относительная погрешность –
0,005/58,44 = 0,000086.

В
соответствии с таблицей 2 абсолютная
погрешность объёма мер­ной колбы на
250 мл равна 0,20 мл, поэтому относительная
погрешность объёма составит 0,20:250 =
0,0008.

Суммируя
найденные погрешности, для относительной
погрешности концентрации приготовленного
раствора получим: 0,012 + 0,000086 + 0,0008 = 0,012886

0,013 = 1,3 %. Оценивая вклад погрешностей
исходных величин, можно заметить, что,
во-первых, погрешность концентрации
определяется, в основном, погрешностью
взвешивания. Если найденная погрешность
концентрации оказывается слишком
большой, то для её уменьшения необходимо
навеску брать с использованием
аналитических весов, погрешность
которых¹
составляет 0,0002 г. Тогда относительная
погрешность массы навески составит
0,00012 и определяющей станет погрешность
объёма колбы. Если и теперь точность
определения концентрации окажется
недостаточной, необходимо калибровать
используемую мерную колбу, т.е. более
точно определить её объём. Методика
калибровки мерной посуды описана в
пособиях по аналитической химии.

Во-вторых,
все величины, используемые в расчётных
формулах, следует определять с максимально
возможной точностью, поскольку даже
одна величина, имеющая большую погрешность,
обесценивает труд по определению
остальных величин с высокой точностью.

В-третьих,
погрешность молярной массы в рассмотренном
примере практически не влияет на
погрешность концентрации. Это является
следствием большого числа значащих
цифр в величине М
по сравнению с другими величинами.
Отсюда следует, что если некоторые
величины, используемые в расчётной
формуле, содержат значащих цифр больше,
чем другие, т.е. являются более точными,
то их погрешность можно не учитывать,
считая их точными числами. Конечно, при
расчётах необходимо и использовать эти
величины с большим числом значащих
цифр, не округляя.

При
построении графиков необходимо правильно
выбрать размеры листа бумаги. Обе
координатные оси не должны сильно
различаться в размерах. Вместе с тем
всё поле графика должно быть использовано,
т.е. если первое значение координаты
точки сильно отличается от нуля, разметку
соответствующей оси необходимо начинать
с ближайшего меньшего целого значения.
При этом точка пересечения координатных
осей не будет соответствовать нулям на
осях координат.

Координаты
изображаемых точек не записываются на
осях координат, где необходимо указать
лишь целые значения изображаемой
величины, т.е. построить шкалу этих
значений. На осях должны быть указаны
обозначения величин и их размерность.

Точки
на графике должны быть выделены отчётливо.
Если изображается несколько зависимостей,
то точки каждой из них необходимо
изображать разными символами. Кривую
проводить плавно так, чтобы число точек,
не попадающих на кривую, по разные её
стороны было одинаково. Используя для
построения графиков компьютер, следует
не соединять точки между собой, а
аппроксимировать зависимость плавной
кривой, подобрав соответствующую
функциональную зависимость.

Одной
из наиболее удобных и распространённых
программ для построения графиков функций
и их обработке является компьютерная
программа Origin.
В настоящее время доступна седьмая
версия этой программы, которая имеет
незначительные отличия от предыдущей
шестой версии. Изменения коснулись в
основном стиля работы программы, он
стал более приближен к стилю, принятому
в программах Microsoft
Excel
и Microsoft
Word.
Несмотря на то, что работа в программе
Origin
рассматривается в курсах «Информатика»
и «Новые информационные технологии»
есть смысл кратко напомнить основные
моменты работы с данной программой, её
возможности, ограничившись при этом
лишь самыми необходимыми функциями.

Программа
Origin
позволяет строить различные двухмерные
графики в декартовой или полярной
системе координат, кроме того, имеется
возможность построения треугольных
диаграмм (используются для описания
поведения трехкомпонентных систем) и
трехмерных (3D)
поверхностей.

При
запуске Origin сначала открывается новое
окно в виде рабочего листа в рабочем
пространстве Origin. Рабочий лист (рис. 1)
является одним из типов окон, доступных
в этой программе. В самом верху окна в
строке заголовка указывается версия
Origin
7 и имя проекта (в
начальный момент Untitled
– без имени), в правом верхнем углу
расположены стандартные для WINDOWS
элементы управления, позволяющие
свернуть окно в кнопку на панели задач,
свернуть в окно и закрыть приложение.

Ниже
расположена стандартная для WINDOWS
строка меню: File,
Edit,
View,
Plot,
Column,
Analysis,
Statistics,
Tools,
Format,
Window,
Help,
элементы которого раскрываются после
щелчка по ним мышью. Перечень меню
меняется в зависимости от того, какое
окно активно. Под строкой меню расположены
кнопки быстрого доступа к определенным
функциям программы, например, сохранить
проект (кнопка с изображением дискеты),
распечатать (кнопка с изображением
принтера) и т.д. Узнать назначение той
или иной кнопки можно, поместив на неё
указатель мыши; при этом рядом с кнопкой
появляется соответствующее пояснение.
Количество выводимых кнопок может
меняться, в зависимости от настройки
конкретной программы, а доступ к
соответствующим функциям может быть
осуществлен через общее меню программы.

Ещё ниже находится
панель форматирования, позволяющая
выбрать шрифт надписей, его начертание
и размер, толщину линий.

Рис.1. Вид окна
программы Origin

В
основном поле окна находится Окно
рабочий лист
– пустая таблица со столбцами A[X]
и B[Y],
в каждую строку которых попарно вносятся
результаты измерений. При
необходимости количество столбцов
может быть добавлено, для чего необходимо
открыть меню Column
и щелкнуть мышью по пункту Add
New
Columns…
или, не заходя, в меню нажать комбинацию
клавиш Ctrl
+ D
(плюс в
данном случае означает одновременное
нажатие указанных клавиш). В поле
открывшегося окна Add
New
Columns
указать необходимое количество
добавляемых колонок.

При
наборе данных с клавиатуры или их
копировании из других приложений
(например, Excel)
необходимо помнить, что разделителем
целой и дробной части числа в программе
Origin
является точка, а не запятая, как во
многих русифицированных программах.
Набор запятой в числе в качестве
разделителя приводит к тому, что введенные
данные воспринимаются программой как
текстовые, а не числовые, без какой либо
диагностики. Ввод каждого числа в ячейку
заканчивается нажатием клавиши “Enter”,
при этом происходит переход к следующей
ячейке.

После
ввода всех исходных данных необходимо
построить график, для чего следует войти
в меню Plot
и выбрать в открывшемся перечне вариант
построения графика: только линии (Line),
только точки – маркеры (Skatter)
или маркеры, соединенные линиями (Line
+ Symbol).
Если планируется аппроксимировать
экспериментальные данные методом
наименьших квадратов, то целесообразно
строить только маркеры. Если под таблицей
в нижней части рабочего окна Origin
открыта панель кнопок 2D Graphs,
то для построения графика достаточно
щелкнуть указателем мыши по соответствующей
кнопке.

Открывается
окно Select
Columns
for
Plotting,
в котором необходимо выбрать, какая
колонка будет аргументом (ось X),
какая функцией (ось Y).
Для этого, щёлкнув в окне по названию
колонки значений аргумента (например,
A[X]),
щёлкнуть по кнопке <–>X
, находящейся рядом справа. Затем выбрать
щелчками колонку функции (например,
B[Y]) и кнопку <–>Y
.После нажатия на кнопку “OK”
мышью появляется окно Graph,
в котором будет построен график. Один
из вариантов построения представлен
на рис.2.

В
рабочем окне Origin
одновременно может быть отображено
несколько окон, но активным может быть
только одно. Для того, чтобы сменить
активное окно, необходимо щелкнуть
мышью по нужному окну. Любое окно может
быть свернуто кнопкой и тогда оно не
заслоняет другие окна, либо развернуто
во всю площадь окна Origin
(соответствующие элементы управления
находятся в правом верхнем углу). В тех
случаях, когда на одном графике
представлено несколько зависимостей,
для редактирования, аппроксимации,
сглаживания и других типов обработки,
необходимо выделить активный набор
данных, для чего нужно зайти в меню
“Data”,
если активно окно Graph
и выбрать из представленных там наборов
данных.

Для
аппроксимации экспериментальных данных
методом наименьших квадратов необходимо
выделить активный набор данных (если
их несколько) и зайти в меню “Analysis”,
где из списка выбрать подходящую функцию
из набора, либо задать пользовательскую
функцию. После выполнения расчётов
выдается отчёт, в котором указывается
вид функции и значения всех её
коэффициентов. Сама аппроксимирующая
кривая обычно строится красным цветом,
который может быть изменен пользователем.

Рис.2

График
функции, построенный в Origin,
не имеет подписей под координатными
осями (точнее, там указано, что это
соответственно ось X
и ось Y).
Для изменения подписей необходимо
щелкнуть по ним указателем мыши, при
этом становится активной панель
форматирования. После чего можно набирать
на клавиатуре название осей. Необходимо
помнить, что в программе Origin
для перехода на русский язык недостаточно
переключить клавиатуру, надо выбрать
шрифт, поддерживающий кириллицу (типа
“Courier
New
Cyr“
или другой, но обязательно Cyr).
Origin позволяет в произвольном месте
графика выполнить любую надпись, для
этого необходимо щелкнуть по кнопке с
буквой T на панели Tools
и набрать текст, который можно перетащить
мышью в любое место.

При
сохранении информации вся работа в
данной секции сохраняется, как проект
Origin.
Он включает в себя все окна на экране
(включая также свернутые окна) а также
все файлы, связанные с информацией в
окнах. Кроме сохранения проектов, можно
также сохранить окно или шаблон как
отдельный файл.

Суммирование погрешностей

В химических методах количественного химического анализа -гравиметрии и тириметрии в расчетах используют в основном суммы, разности, произведения и частные измеренных величин, определение каждой из которых содержит свою погрешность. Возникает задача вычисления суммарной погрешности, решение которой зависит от вида погрешностей и выполняемых арифметических действий с полученными значениями. В данном пособии рассмотрим суммирование погрешностей только для перечисленных арифметических действий. Правила суммирования представлены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Правила суммирования погрешностей

Примечание: суммарную систематическую погрешность рассчитывают по формулам столбца 1, если известны и величина, и знаки отдельных составляющих; если знаки неизвестны, расчет проводят по формулам столбца 2. Определив абсолютную погрешность, можно рассчитать относительную и наоборот.

Пример 9.8.

Вычислите абсолютную и относительную систематические погрешности взвешивания гравиметрической формы , если масса тигля с прокаленным осадком =12,3383 г, а пустого тигля = 12,0112 г. Соответствующие систематические погрешности взвешивания с использованием аналитических разновесов составили

Решение:

Массу гравиметрической формы вычисляем по разности взвешиваний:

Используя правило сложения систематических погрешностей для разности при известном знаке составляющих (колонка 1 табл. 9.1), получаем:

Следует обратить внимание на то, что при использовании одних и тех же гирь при взвешивании тигля с осадком и без него систематическая погрешность уменьшается.

Найдем относительную погрешность определения массы гравиметрической формы:

Пример 9.9.

Рассчитайте систематическую погрешность (абсолютную и относительную) концентрации при приготовлении 250,0 мл раствора иода из навески /и 1,2634 г. Систематическая погрешность массы навески +0,4 мг, измерения объема мерной колбой -0,2 мл.

Решение:

Концентрацию раствора рассчитываем по формуле:

В соответствии с законом распространения систематических погрешностей относительная погрешность частного при известных знаках определяется равна разности относительных погрешностей делимого и делителя, а произведения — сумме (табл. 9.1, колонка 1):

Поскольку погрешность определения молярной массы мала по сравнению с другими погрешностями, ее вкладом пренебрегаем. Найдем относительную погрешность величины концентрации:

Абсолютная погрешность концентрации составляет:

Пример 9.10.

Рассчитайте максимально допустимое относительное стандартное отклонение при определении массовой доли серы в пересчете на весовым методом, если методика предполагает: из навески пробы около 1 г после разложения и окисления серы до остаток перевести в мерную колбу вместимостью 100 мл, осаждение провести из аликвоты 20 мл и получить массу гравиметрической формы 0,4 г (см. гл. 7). Использована посуда второго класса (табл. 11 приложения).

Решение:

При осаждении из аликвоты результаты весового анализа могут быть рассчитаны по формуле:

где — масса пробы, — гравиметрический фактор.

С учетом правила суммирования случайных погрешностей для произведения и частного (табл. 9.1) относительное стандартное отклонение результата можно выразить формулой:

При этом пренебрегаем погрешностью гравиметрического фактора

Масса гравиметрической формы получается как разность двух взвешиваний на аналитических весах:

где — суммарная масса тигля и ; — масса пустого тигля.

Аналогично берут навеску пробы. Погрешность взвешивания примерно одинакова в обоих случаях: . Вычислим абсолютную случайную погрешность определения массы как погрешность разности:

При взвешивании тигля до постоянной массы погрешность взвешивания составляет г. Тогда абсолютная погрешность определения массы:

Абсолютная погрешность взятия навески иода на аналитических весах:

Из табл. 11 приложения берем соответствующие допуски мерной посуды и подставляя в формулу (9,6) вычисляем максимально возможное относительное стандартное отклонение результата:

Пример 9.11.

Рассчитайте максимальную допустимую погрешность (абсолютную и относительную) концентрации при приготовлении 250 мл раствора иода из навески 1,2634 г.

Решение:

Вычисление проводим с учетом примера 9.9, где найдена концентрация моль/л, используя формулу, подобную (9.6) и рассуждения примера 9.10. Основной вклад в суммарную погрешность концентрации иода вносят погрешность измерения объема и массы:

Очевидно, что измерение объема вносит больший вклад в погрешность. Вычислим максимально допустимую абсолютную погрешность:

Пример 9.12.

Определите относительную и абсолютную погрешность концентрации раствора тиосульфата, если она устанавливалась по раствору иода, приготовленному как в примере 9.11, по результатам одного титрования аликвоты иода тиосульфатом (расход тиосульфата и трех параллельных титрований. Соответствующие данные (с указанием в скобках стандартных отклонений):

Решение:

Концентрацию тиосульфата вычисляем по формуле (гл. 8):

Расчет относительной погрешности проводим с учетом вклада всех измеряемых составляющих, упуская малую погрешность молярной массы:

Из расчета следует, что наибольший вклад в погрешность вносит объем титранта, и с его увеличением погрешность уменьшается. Если титрование повторять раз с повой аликвотой относительная погрешность концентрации уменьшится в раз, т. е. при трех параллельных титрованиях:

Абсолютная случайная погрешность определения концентрации при однократном титровании:

Пример 9.13.

Проведите расчет погрешности результата анализа образца на содержание , проведенного йодометрическим титрованием по заместителю согласно реакциям:

Навеску образца г перевели в мерную колбу вместимостью 200,0 (±0,2/3) мл. На титрование брали три аликвоты по 20,00 (±0,06/3) мл, расход тиосульфата с концентрацией 0,07778 моль/л составил: 10,00; 10,05; 10,07; 10,03 ( =10,04) мл.

Решение:

Рассчитаем стандартное отклонение объема тиосульфата:

Массовую долю меди вычислим по формуле:

С учетом погрешностей входящих в формулу величин рассчитаем относительную погрешность содержания меди:

Абсолютная погрешность:

Тогда можно представить результат определения массовой доли меди как 53,27±0,18 (%).

Эти примеры взяты со страницы примеров решения задач по аналитической химии:

Решение задач по аналитической химии

Возможны вам будут полезны эти страницы:

tf = < + = л/< + < (4-10>

Для функции у = л^л’г

by, пр = +~xidxs но ау = л/х2а1, + х\а12

Для функции вида у = (х{х2 … xk)/(xixm… xt) практична оценка относительной погрешности, что приводит к следующим формулам:

п

= пр + пр + • • • + ехп, „Р = £ % пр (4.11)

t=1 »

У=V(%/x02+(%/*2)2+■ • •+ (%/х«)2=л/е§(4л2)

где сг, у и сгл:г — относительные стандартные отклонения упхс.

Or, у = Оу/у\ сгг, Xt = Oxi/Xi

Естественно, что при вычислении предельных относительных погрешностей е^пр и относительных отклонений аг, у вместо неиз­вестных значений у и а:<• следует использовать их средние значе­ния у и X;.

Приведенные частные случаи (4.10) — (4.12) полезны при рас­смотрении конкретных примеров.

2. Поскольку среднеквадратичной ошибке ах. при нормальном распределении ошибок всех аргументов отвечает доверительная вероятность 2алп = 0,68, то и величине ау отвечает та же довери­тельная вероятность. Если необходимо повысить надежность оценки результата анализа, следует перейти к доверительной оценке по Лапласу в соответствии с Приложением 1, задавая вели­чине и от у значения, большие 1.

3. Формулы (4.6) — (4.9) сохраняют свой вид при переходе от оценок, выраженных через генеральные параметры ох., к оценкам, выраженным через выборочные SX{. Однако при этом возникают затруднения, связанные с разнократностью измерений отдельных аргументов. По-видимому, в подобных случаях корректной оцен­кой Sy следует считать оценку по Стьюденту, соотнесенную с ве­роятностью 2аст для минимального числа степеней свободы fi — = Щ, min — 1 аргументов Xi.

§ 2. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОШИБОК.

ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ ХИМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Первая задача в приложении к оценке погрешности конечного ре­зультата химического анализа через погрешности его отдельных этапов принципиально разрешима во всех случаях, поскольку 120 функциональные зависимости, используемые для расчета резуль­татов химического анализа, непрерывны, т. е. частные производ­ные ^ имеют конечные и единственные значения во всей обла­сти определения аргументов

Проиллюстрируем стиль постановки и решения прямой задачи теории ошибок примерами расчетов предельных погрешностей ко­нечных результатов, полученных с использованием гравиметриче­ского, титриметрического, фотоколориметрического и эмиссионного спектрального методов химического анализа.

Пример 1. Из пробы массой 80,0 мг (mi) осаждают компонент А в виде малорастворимого соединения А’, которое последующей обработкой (промыва­ние, высушивание или прокаливание) переводят в форму взвешивания А». Фак­тор пересчета /пр— мол. масса Л/мол. масса А» = 0,4. Осадок А» имеет массу 60,0 мг (т2). Приняв абсолютные погрешности взвешивания пр ~ пр = = 0,2 мг (удвоенная цена деления на световой шкале электрических весов ПДВ-200), степень полноты осаждения © в интервале 0,998 < © < 1,002 *, а степень отклонения состава формы взвешивания от стехиометрического состава А», не превышающей 0,2 °/о, оценить предельную погрешность в определении со­держания компонента А в пробе (уА в %)•

Решение. Искомая величина у а (в %) вычисляется по формуле:

m2©fnp

Ул=~———– 100

mi

Среднее значение

>Й2©/пР

Для оценки предельной погрешности величины ул, пр удобно воспользоваться формулой (4.11), т. е. оценить в первую очередь относительную погрешность е„

СУ пр •

V np = 4 + 4 + ee + ef

Найдем отдельные относительные ошибки всех аргументов:

ЕШа, пр :

пр = <W«2 = 0,2/60 = 3,3 • 10~3 (0,33%)

ет„ пр = = 0-2/80 = 2,5 • Ю-3 (0,25%)

Величина ef учитывает нестехиометричность состава формы взвешива – ‘пр. «Р

ния и равна по условию задачи 0,2 %, т. е. е^ _ пр = 2 • 10 .

Аналогичным образом из условий задачи ее, пр = 0,2 % = 2-10~3. Оконча­тельно получаем

гуА пр = (3,3 + 2,5 + 2 + 2) • Ю-3 = 9,8 • Ю-3 (0,98%)

Отсюда б у пр — еуА, прУд ~ 0,3%. Таким образом, для компонента А с до­статочно большой надежностью можно констатировать, что 29,7 % С Ца < <30,3%.

Реальные методики гравиметрического определения могут пре­тендовать на точность результатов значительно большую, чем в ра­зобранном примере, поскольку лучшие из них свободны от ошибок нестехиометричности состава и ошибок недоосаждения или со – осаждения.

Пример 2. В условиях примера 1, приняв ami = ат^ ~ 0,2 мг и относитель­ные стандартные отклонения ar f = аг е = 2 • Ю-3 = 1Ге = 0,2%), оце­нить стандартное отклонение конечного результата весового определения компо­нента А в пробе оУд и соответствующее относительное стандартное отклоне­ние п.

■ Уа »

Решение. По формуле (4.12):

°г. = m,+< *, + <£ fnp + в

Величины Or, т, и аГ: ,„2 равны:

°г. т,=°т1/«1=2,5.10-3 и «гг> = 3,3■ ИГ3 Тогда:

уА = = 5 • 10 «3 И аУА = = 0-15%

Из полученных результатов следует, что предельные погрешности пр и гу пр в данном примере в два раза выше стандартного отклонении ау ^ и относительного стандартного отклонения аг у ^ соответственно. Иными словами, 6„ « 2а.. , т. е. условию равенства предельной и статистической ошибок

УД, пр УД

отвечает доверительная вероятность 0.95.

Пример 3. При определении иона Вг – методом обратного титрования по Фольгарду к пробе добавляют 5,00 мл 0,1000 М раствора AgNOs (У\ = 5,00 мл, С, = 0,1000 моль/л). Избыток ионов Ag+ оттитровывают 2,00 мл 0,0600 М рас­твора NH4CNS (V2 = 2,00 мл, С2 = 0,0600). Титрование проводят с помощью микробюреток с ценой наименьшего деления Fmln = 0,01 мл. Приняв предельные погрешности измерения объемов 6уь пр = пр = VmIn = 0,01 мл и относитель­ные ошибки (%) в определении концентраций рабочих растворов AgN03 и NH4CNS eCl пр = еСг пр = 0,5%, оценить погрешность в определении Вг~ ме­тодом Фольгарда (6„, пр = ? е„, пр = ?).

Решение. Искомое количество иона Вг – вычисляется по формуле:

Увг – = fmKB (ВГ-) A’Br (ClVi – C2V2)

где Mвг — атомная масса Вг; faкв — фактор эквивалентности брома, равный еди­нице.

Найдем относительную ошибку еу, пр:

In у = In (CiVi – C2V2) + In f3KB (ВГ-) + In AfBr

Поскольку f3K0(Br-) и Мы— величины постоянные

р – dllnf (CV ГШ + + + Чу, пр = d I In / (C, K, – C2V2) I —————- CiVi _ CiVi

Через относительные ошибки еС( пр и еС2> пр вычислим их абсолютные зна­чения 6С( пр и бС2> пр:

бс„ пр = ОД ■ 5 • Ю-3 = 5 • Ю-4; бСг> пр = 0,06 • 5 • 10~3 = 3 • 10~4 I Отсюда:

_ 5 – 10~4-5+ IP»2 – 10″1 + 3. 10~4-2+ 10~2-6- 10″2

еУ’пР~ 0,1-5-0,06-2

= 2.5-Ю-3+1-10-о3 + в-10-4 + 6-10-4 = 12 . ш-2 = 120/о

Отдельные слагаемые в числителе выражения для б у, пр пропорциональны вкладу погрешностей отдельных операций в общую погрешность метода.

Оценим абсолютную предельную погрешность определения Вг:

у = 28,4 мг; бу< Пр = Чу, пр У « 0,3 мг

Пример 4. Для фотоколориметрического определения концентрации окрашен­ного компонента в растворе измерена его оптческая плотность Ах, а также опти­ческая плотность стандартного раствора Аст с концентрацией Сст. Измерения проведены при одинаковых условиях в области концентраций, подчиняющихся закону Бугера — Ламберта — Бера. Пусть Ах = 0,30; Лст = 0,25 и Сст = 1,2- • Ю-4 моль/л. Приняв за предельную погрешность измерения оптических плотно­стей величину б^ пр = 6^ пр = 0,01 (цена наименьшего деления на шкале

оптических плотностей большинства фотоколориметров) и считая, что концен­трация стандартного раствора определена с относительной погрешностью не более 2% (ес Пр = 2 • Ю-2 = 2%), оценить относительную погрешность пр в оп­ределении концентрации Сх.

Решение. Формула для расчета концентрации в фотоколориметрни имеет

вид:

Сх/Сст = Ax/Ad или Сх = СстАх/Аст

Отсюда в соответствии с (4.11):

есх, пР = еСст + % + Чт =

= 2 • Ю-2 + 0,01/0,30 + 0,01/25 = 9,3 • Ю-2 = 9,3%

Как правило, аналитик готовит не один, а серию стандартных растворов и строит по ним градуировочную прямую; в силу этого он может рассчитывать на уменьшение предельной погрешности, которое в первом приближении пропорционально корню квадрат­ному из числа точек на градуировочной прямой. При построении градуировочного графика по 5—10 точкам фотоколориметрические определения могут претендовать на относительную погрешность, не превышающую 5—3 %.

Пример 5. Для количественного определения содержания элемента Z в пробе использован метод эмиссионного спектрального анализа с фотографической ре­гистрацией спектра. Плотность почернения аналитической линии элемента Z на фотопластинке Sz = 0,5. На этой же пластинке снят спектр эталона, содержа­щего искомый элемент Z в концентрации Сэт = Ю-3 %. Плотность почернений линии элемента Z в эталоне 5ЭТ = 0,32. Приняв предельную относительную по­грешность в определении концентрации эталона ес пр = 0,03 (3%), а предель­ные абсолютные погрешности определения значений плотности почернения 6CZ, пр = бсэт, пр = 0.03, оценить относительную предельную погрешность ре–

зультата анализа пр%).

Решение. Отметим прежде всего, что плотность почернения S = lg /ф//л (/ф — интенсивность светового потока, проходящего через незасвеченную («фон»), — через зачерненную («линию») часть фотопластинки) измеряют на микрофо­тометре, причем погрешности, допускаемые в оценке значении, весьма значи­тельны. Это связано с тем, что исходный сигнал многократно преобразуется при последовательно протекающих физических и химических процессах, характеризую­щихся не вполне стабильными (флуктуируюшими) параметрами (см. § 2 гл. II). В частности, заметными флуктуациями характеризуется распределение светочув­ствительного слоя вдоль поверхности фотопластинки. Поэтому измерение плот­ности почернения S отягощено значительными ошибками (~5—10 с/о).

Для расчета искомой величины Сг может быть использована следующая формула [37]:

Cz = C„-10Sz~S-

Отсюда предельная относительная ошибка:

eCzinp = d|ln(c9T.10Sz-S-| =

= d | In Сэт + (Sz – 5ЭТ) in 10 | = еСэт + 2,3 (6Cz + 6^)

Для условий поставленной задачи:

eCz, пр = °-03 + 2-3 (°’°3 + °.°3) = 0,17 = 17%

Расчет показывает, что погрешность количественного метода эмиссионного спектрального определения весьма высока. Применение «метода трех эталонов» позволяет уменьшить ошибку приблизительно в Уз « 1,7 раза, т. е. примерно до 10 %.

В заключение настоящего параграфа отметим, что классиче­ские методы химического анализа весовой и объемный остаются и в настоящее время наиболее точными по сравнению с инстру­ментальными методами. При этом несомненно, что многие инстру­ментальные методы более чувствительны и обеспечивают возмож­ность оценки содержания компонента в области концентраций, недоступных для определения классическими методами. Таким образом, по-видимому, можно утверждать, что такие критерии эффективности химического анализа, как надежность результатов (правильность и воспроизводимость) и чувствительность, нахо­дятся в обратной зависимости: чем ниже уровень содержания компонента в пробе и чувствительнее применяемый метод анализа, тем большие относительные ошибки сопутствуют количественному определению.

§ 3. НАКОПЛЕНИЕ ОШИБОК В КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Рассмотренные в предыдущем параграфе примеры с очевидностью ^свидетельствуют о том, что общая погрешность косвенных измере­ний всегда выше погрешностей отдельных этапов измерительной процедуры. Иными словами, по ходу последовательных стадий анализа и соответствующих им расчетов погрешности накапли – ваются, и любой пересчет, использующий ранее полученные зна­чения, может сопровождаться лишь возрастанием погрешностей. Проиллюстрируем высказанный принцип на простейших примерах.

Ошибка в определении малых разностей. Пусть оценка величи­ны у — хI — Х2 проводится путем измерения аргументов Х\ и х2. Очевидно, аргументы однородны (имеют одинаковую размерность, например, концентрации или оптической плотности) и имеют в пер­вом приближении равные абсолютные ошибки измерений ох, = = 0Х (в отдельных случаях, когда Х\ — величина, изме­ряемая для стандартного образца, можно положить оХ1 = 0, но это не меняет дальнейших выводов). Найдем бу, „р и гу, Пр:

6у, пР = + = 26еу, пр = 26[38]/(*i – х%)

Из полученного выражения для гу, пр вытекает хорошо осозна­ваемое опытными аналитиками следствие: чем меньше разность двух измеряемых величин Х\ и х2, тем больше относительная по­грешность в ее оценке, или короче — малые разности определяются с большими погрешностями. Практический вывод, который с не­избежностью вытекает из этого соотношения, состоит в том, что измерения следует организовать таким образом, чтобы величины у, х\ и X2 были соизмеримы, но величина xi заметно отличалась от Х2. Если это принципиально невозможно и величина у всегда должна быть существенно меньше х\ и х2, а Х\ и х2 близки между собой, необходимо перейти к прямому измерению у. Иными сло­вами, при диспропорциональном делении величины на две части для уменьшения погрешности в оценке частей следует достаточно точно определять именно меньшую часть *.

Ошибка в определении частного. Многие химические и химико – аналитические исследования имеют своей целью определение ве­личин, выражающихся в форме частного, в котором числитель и знаменатель связаны некоторым закрепленным соотношением. Например, для коэффициента распределения D справедливы со­отношения:

£’орГ С® Св VB

D = ~c~=~—r: r = ~v~

^B ^B у орг

где С° — исходная концентрация; СоРг в С, — равновесные концентрации в соот­ветствующих фазах; г — отношение равновесных объемов фаз.

При определении константы диссоциации слабых кислот Ка используют соотношение:

*» = tH+] рКа = ж + lg

где v — степень оттнтрованности.

При вычислении большинства констант равновесия возникает необходимость оценки отношения концентраций компонента, на­ходящегося в двух разных формах. Так, при вычислении кон­станты образования $мехг комплекса МеХ2 из иона Ме»+ и z одно­зарядных анионов Х – при заданных исходных концентрациях Смг и Сх необходимо найти отношение [МеХг]/[Ме»+] равно­весных концентраций закомплексованного и незакомплексованного металла:

[МеХг] »

PMeXz [Men+] [X’f

С учетом С^е = [Ме»+] + [МеХг] цри условии С^ ^ (MeXJ расчетная формула приобретает видг

[МеХг]

Рмех, —

* {С^е-[МеХ2]}(С°х)г

В этом нарочито упрощенном примере[39] так же, как и в преды­дущих, задача определения константы сводится к нахождению отношения частей, сумма которых постоянна.

Проанализируем с точки зрения значений предельных ошибок относительную погрешность в оценке коэффициента распределе­ния D в том наиболее часто встречающемся на практике случае, когда концентрацию в органической фазе определяют не путем прямого анализа, а по разности между исходной и равновесной, С этой целью запишем выражение для D в форме, обычно ис­пользуемой в расчетах:

Lb

а относительную ошибку ед представим в соответствии с прин­ципом аддитивности относительных ошибок функций типа произ­ведение— частное [формула (4.11)] в виде:

eD ~ ес°-св + есв + ег

Для определения Вс°—св представим ее в виде;

6с°-св 6с° + бсв бсв

ес°-св= с°-С в = С0 — С в =С° —Св + С°-Св

Откуда окончательно:

6С„ 6С 6С

j——————— Ь

Г’С г 1

ТУ С0 — Св 1 С0 — Св ‘ Св ‘ г

Если величины С0 и Св определяют, как это чаще всего и бы­вает, одним методом, абсолютные предельные погрешности их оценки можно принять одинаковыми: 6С°. пр = ПР-

Положим для наглядности эту величину равной 0,01 С°. Тогда: 0.02С 0,01 С°

eD~ С°- Св + Св + ег

Полученное выражение показывает, что как низкая (Св близка к С0), так и высокая степень извлечения (Св <S С0) приводит к большим погрешностям в оценке коэффициента извлечения. Так, полагая степнь извлечения Е = (С0— — Св)/С° равной 0,98 (98%) или 0,03 (3%) для рассмотренного условия =ЬГ „„ = 0,01 С° и пренебрегая погрешностью оценки объемов ег, полу-

и ) пр ^в’ г

чаем:

еЛ пр (Е = 0,98) = 0,02/0,98 + 0,01/0,02 = 0,52 (52 %)

е0> пр (£ = 0,03) = 0,02/0,03 + 0,01/0,97 = 0,68 (68%)

Если считать, что ед, Пр не должна превышать 0,15 и около 0,03 в эту величину вносит погрешность оценки равновесных объ­емов Ег, следует ограничить область степеней извлечения значе­ниями Е от 20 до 90 %• Поскольку реально достижимые значения г могут колебаться от 0,1 до 50, удовлетворительные по точности оценки могут быть получены для коэффициентов распределения от 0,02 до 500 [оценено из соотношения D = Er/( 1—£)]. Если при исследовании экстракционных процессов используется спе­циальный высокочувствительный метод определения концентра­ций, позволяющий надежно определять сотые или тысячные доли исходной концентрации распределяемого компонента, это есте­ственно открывает возможность оценки очень больших коэффи­циентов распределения и изучения восокоэффективных процессов. Тем не менее, выводы, полученные при разборе предыдущего при­мера, носят достаточно общий характер и позволяют сформули­ровать следующий принцип: при оценке величины, представляю­щей частное, числитель и знаменатель которого связаны постоян­ным отношением, следует избегать диспропорциональности между частями и стремиться создавать условия для их соизмеримости. Если это невозможно, следует меньшую из величин определять с максимально доступной точностью, тогда вторая может быть найдена по разности.

Рассмотрим пример накопления погрешностей в процессе по­следовательного пересчета экспериментальных величин при оценке параметров, косвенным образом опосредованных через эти вели­чины.

Пример 1. С целью изучения ассоциации уксусной кислоты в циклогексане проведено измерение понижения температуры замерзания раствора по сравнению с чистым растворителем. Исходные данные эксперимента и предельные погреш­ности приведены ниже.

Крнскоспнческая константа: Krv = 20,2 (еккр, пр = ®’3 — 0,5%).

    При оценке правильности или воспроизводимости результатов необходимо различать понятия об абсолютной и относительной ошибках. Абсолютной ошибкой называют разницу в абсолютных цифрах между полученным результатом и истинным (или наиболее достоверным) или средним значением. Относительной ошибкой называют отношение обычно в процентах) абсолютной ошибкой к истинному или среднему) значению. [c.480]

    Абсолютная и относительная ошибки…………………………….465 [c.495]

    Абсолютная и относительная ошибки [c.480]

    АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ОШИБКИ [c.452]

    Решение. Пределы расхода реактива 30 0,4 мл. Среднее арифметическое измерений N = 30. Максимальная ошибка измерений 0,4. Абсолютная и относительная ошибки измерений (при N = 30)  [c.38]

    По объему, плотности и процентной концентрации раствора рассчитывают содержание в нем сухой соли и ее процентное содержание в исходной смеси. Результат проверяют у преподавателя, находят абсолютную и относительную ошибки определения. Данные опыта и результаты записывают по форме  [c.41]

    Абсолютная и относительная ошибка. Абсолютная ошибка е при определении массы представляет собой разность между истинной массой В и массой , полученной опытным путем  [c.15]

    Вычислите молекулярный вес Мсо, тремя способами,- указанными в начале описания работы. Определите абсолютную и относительную ошибки опыта. [c.38]

    Определение плотности вещества проведите не менее трех раз, а затем вычислите среднее значение рэ(ср.). После этого найдите справочное значение плотности вещества рв (см. Приложение 2) и рассчитайте абсолютную и относительную ошибку измерения плотности — так же, как для определения пикнометрическим методом. [c.98]

    Найти значение титра с учетом только достоверных цифр наблюдения, абсолютную и относительную ошибки определения, а также измерение с наиболее существенной ошибкой. [c.28]

    При анализе образца технического хлорида бария получены следующие значения содержания хлора (%) 29,08 29,15 29,31 29,10 29,12. Рассчитайте абсолютную и относительную ошибку для каждого результата. Выявите грубые погрешности. [c.196]

    Абсолютные и относительные ошибки расчетов покрытий [c.103]

    Рассчитать значение х по приведенным данным и определить абсолютную и относительную ошибку расчета. [c.19]

    Результаты сдайте преподавателю. Вычислите абсолютную и относительную ошибки. Абсолютная ошибка е представляет собой разность между истинной величиной В и величиной, полученной в опыте Ь)  [c.24]

    Абсолютная и относительная ошибки в измерении константы равновесия определяются формулами [c.168]

    Затем рассчитывают Кср, а потом абсолютную и относительную ошибки. [c.800]

    Вывести уравнение для расчета абсолютной и относительной ошибки при измерении длины волны в зависимости от ошибок измерения Дг, Да, Дй, [c.31]

    Находят /Сер, абсолютную и относительную ошибки. [c.792]

    Найти абсолютную и относительную ошибки измерения и измерение с наиболее существенной ошибкой. [c.28]

    Находят Кср И сравнивают со значением к, полученным из графика. Рассчитывают абсолютную и относительную ошибки. [c.797]

    По разности вз—найти массу двуокиси углерода в колбе (вв) Из найденных весов и определить относительную плотность двуокиси углерода по воздуху и вычислить молекулярный вес (с точностью до 0,01). Определить абсолютную и относительную ошибки опыта. [c.33]

    По опытным данным вычислить молекулярный вес кислорода с точностью до 0,01 и определить абсолютную и относительную ошибки. [c.33]

    Найти значение Сд , абсолютную и относительную ошибку измерения. Ответ С =6,54-10 вд.=0,8%. [c.29]

    Вычислите абсолютную и относительную ошибки опыта Абсолютная ошибка = 5теор С- [c.88]

    Для оценки точности измерения вычисляют абсолютную и относительную ошибки конечного результата. Абсолютная ошибка есть разность между теоретическим значением величины Ь и значением величины с, полученным в опыте  [c.37]

    Найдите абсолютную и относительную ошибки определения. Результаты сдайте преподавателю. [c.28]

    Сравните значение энтальпии растворения АЯэ, полученное экспериментально, с табличным значением (Приложение 11), рассчитайте абсолютную и относительную ошибку. С чем связано отклонение полученной величины от табличного значения ДЯ растворения  [c.61]

    Какая связь между абсолютной и относительной ошибками опыта  [c.29]

    Абсолютная и относительная ошибки. Ошибка может бь выражена абсолютным или относительным значением. [c.216]

    Определить абсолютную и относительную ошибку опыта [c.35]

    В этой таблице приведены данные для условии (высокое давление, низкая температура), при которых следует ожидать максимальную ошибку при определении состава газа для принятого в справочнике диапазона изменения параметров процесса конверсии углеводородов. Из таблицы следуе , что абсолютные и относительные ошибки для наименее благоприятного случая невелики. Следовательно, для практических расчетов справочные таблицы вполне пригодны. [c.12]

    Вычислите абсолютную и относительную ошибки определения (см. с. 166). [c.212]

    Абсолютные и относительные ошибки [c.12]

    Абсолютную и относительную ошибки расчета по этому уравнению вычисляют по формулам, приведенным в табл. 3. Для величины у—по формулам (П1) и (И1а)  [c.22]

    Определение абсолютной и относительной ошибки непосредственного измерениякакой-нибудь величины [c.11]

    По полученным данным рассчитать содержание окиси меди в исходной соли (в %). По формуле Си2(ОН)2СОз вычислить содержание окиси меди в осповном карбонате меди и сравнить экспериментально полученный результат с теоретическим. Определить абсолютную и» относительную ошибку (в %). [c.45]

    Значение к рассчитывают по (Х111. 136), а также графически— на основании зависимости 1п(1 оо—V) от t. Вычисляют J p, абсолютную и относительную ошибку. [c.782]

    Порядки реакций рассчитывают по формулам (ХП1. 141) и (XIII. 142). Полученные значения ос и р округляют до ближайшего целого положительного числа, подставляют в (XIII. 138) и рассчитывают константу скорости. Находят /Сср, абсолютную и относительную ошибки. Сравнивают стехиометрические коэффициенты со значениями порядков. Учитывая механизм реакции, дают объяснение значениям аир. [c.785]

    Константу скорости рассчитывают по формуле (XIII. 168). На основании полученных данных находят Кср, а также абсолютные и относительные ошибки. [c.804]

    Для вычисления абсолютной п относительной ошибок определения расчленяем форк улу на составляющие, как это указано выше, и после несложных преобгагсЕзь пй находим выражения для абсолютной и относительной ошибки  [c.24]

---