Загрузить PDF
Загрузить PDF
Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.[1]
Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.[2]
Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.
-
1
Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула:
, где – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), – измеренное значение, – фактическое значение.[3]
-
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо
.
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м:
-
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо
.
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м:
-
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[4]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- В нашем примере: , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама
- В нашем примере:
-
1
Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула:
, где – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), – измеренное значение, – фактическое значение.[5]
-
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо
.
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так:
-
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо
.
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так:
-
4
Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
-
5
Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете
, то есть измеренное значение.
-
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[6]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так:
-
1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
-
2
-
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.[9]
Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[10]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- Например, если измеренная длина поля равна м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама
- Например, если измеренная длина поля равна
Советы
- Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 26 271 раз.
Была ли эта статья полезной?
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.[1]
Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.[2]
Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.
-
1
Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула:
, где – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), – измеренное значение, – фактическое значение.[3]
-
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо
.
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м:
-
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо
.
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м:
-
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[4]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- В нашем примере: , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама
- В нашем примере:
-
1
Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула:
, где – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), – измеренное значение, – фактическое значение.[5]
-
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо
.
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так:
-
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо
.
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так:
-
4
Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
-
5
Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете
, то есть измеренное значение.
-
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[6]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так:
-
1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
-
2
-
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.[9]
Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».[10]
Так вы вычислите абсолютную ошибку.- Например, если измеренная длина поля равна м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама
- Например, если измеренная длина поля равна
Советы
- Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 24 549 раз.
Была ли эта статья полезной?
Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2108.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2108.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2108.
А какая ваша оценка?
Абсолютная погрешность
- Причины возникновения погрешности измерения
- Систематическая и случайная погрешности
- Определение абсолютной погрешности
- Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
- Значащие цифры и правила округления результатов измерений
- Примеры
Причины возникновения погрешности измерения
Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.
Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.
Виды погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Теоретическая погрешность
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Систематическая и случайная погрешности
Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.
Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.
Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.
Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.
Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.
Определение абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:
$$ Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$
Например:
При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:
$m_i,г$
98,4
99,2
98,1
100,3
98,5
$Delta m_i, г$
1,6
0,8
1,9
0,3
1,5
Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| le h $
Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = overline{1, N}$.
Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:
$$ a = x_{cp} = frac{x_1+x_2+ cdots +x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N x_i $$
Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:
$$ Delta x_i = |x_i-a| $$
Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:
$$ Delta x_{cp} = frac{Delta x_1+ Delta x_2+ cdots + Delta x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N Delta x_i $$
Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.
Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:
$$ h = max {d; Delta x_{cp} } $$
Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:
$$ a-h le x le a+h или x = a pm h $$
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Например:
0,00501 — три значащие цифры 5,0 и 1.
5,01 — три значащие цифры.
5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.
Внимание!
Правила округления.
Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”).
Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.
Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так:
$$ a approx 1,7; h approx ↑0,2; 1,5 le x le 1,9 или x = 1,7 pm 0,2 $$
Примеры
Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃. Какова абсолютная погрешность этих измерений?
По условию $11,55 le t le 11,63$. Получаем систему уравнений:
$$ {left{ begin{array}{c} a-h = 11,55 \ a+h = 11,63 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 11,59 \ h = 0,04end{array} right.} $$
$$ t = 11,59 pm 0,04 ℃ $$
Ответ: 0,04 ℃
Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.
$x_i$
15,3
16,4
15,3
15,8
15,7
16,2
15,9
Находим среднее арифметическое:
$$ a = x_{ср} = frac{15,3+16,4+ cdots +15,9}{7} = 15,8 $$
Находим абсолютные погрешности:
$$ Delta x_i = |x_i-a| $$
$ Delta x_i$
0,5
0,6
0,5
0
0,1
0,4
0,1
Находим среднее арифметическое:
$$ Delta x_{ср} = frac{0,5+0,6+ cdots + 0,1}{7} approx 0,31 gt d $$
Выбираем большую величину:
$$ h = max {d; Delta x_{ср} } = max {0,1; 0,31} = 0,31 $$
Округляем по правилам округления по избытку: $h approx ↑0,4$.
Получаем: x = 15, $8 pm 0,4$
Границы: $15,4 le x le 16,2$
Ответ: $15,4 le x le 16,2$
Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 pm 0,001$. Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x.
Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:
$$ {left{ begin{array}{c} a-0,3 le x le a+0,3 \ 5,630 le x le 5,632 end{array} right.} Rightarrow a-0,3 le 5,630 le x le 5,632 le a+0,3 Rightarrow $$
$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} a-0,3 le 5,630 \ 5,632 le a+0,3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a le 5,930 \ 5,332 le a end{array} right.} Rightarrow 5,332 le a le 5,930 $$
Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:
$$ 5,3 le a le 5,9 $$
Ответ: $ 5,3 le a le 5,9 $
Абсолютная и относительная погрешности (ошибки).
Пусть некоторая
величина x
измерена n
раз. В результате получен ряд значений
этой величины: x1,
x2,
x3,
…, xn
Величиной, наиболее
близкой к действительному значению,
является среднее арифметическое этих
результатов:
Отсюда следует,
что каждое физическое измерение должно
быть повторено несколько раз.
Разность между
средним значением
измеряемой
величины и значением отдельного измерения
называется абсолютной
погрешностью отдельного измерения:
(13)
Абсолютная
погрешность может быть как положительной,
так и отрицательной и измеряется в тех
же единицах, что и измеряемая величина.
Средняя абсолютная
ошибка результата — это среднее
арифметическое значений абсолютных
погрешностей отдельных измерений,
взятых по абсолютной величине (модулю):
(14)
Отношения
называются относительными погрешностями
(ошибками) отдельных измерений.
Отношение средней
абсолютной погрешности результата
к среднему арифметическому значению
измеряемой величины называют относительной
ошибкой результата и выражают в процентах:
Относительная
ошибка характеризует точность измерения.
Законы распределения случайных величин.
Результат измерения
физической величины зависит от многих
факторов, влияние которых заранее учесть
невозможно. Поэтому значения, полученные
в результате прямых измерений какого
— либо параметра, являются случайными,
обычно не совпадающие между собой.
Следовательно, случайные
величины —
это такие величины, которые в зависимости
от обстоятельств могут принимать те
или иные значения. Если случайная
величина принимает только определенные
числовые значения, то она называется
дискретной.
Например,
количество заболеваний в данном регионе
за год, оценка, полученная студентом на
экзамене, энергия электрона в атоме и
т.д.
Непрерывная
случайная величина принимает любые
значения в данном интервале.
Например: температура
тела человека, мгновенные скорости
теплового движения молекул, содержание
кислорода в воздухе и т.д.
Под событием
понимается всякий результат или исход
испытания. В теории вероятностей
рассматриваются события, которые при
выполнение некоторых условий могут
произойти, а могут не произойти. Такие
события называются
случайными.
Например, событие, состоящее в появлении
цифры 1 при выполнении условия — бросания
игральной кости, может произойти, а
может не произойти.
Если событие
неизбежно происходит в результате
каждого испытания, то оно называется
достоверным.
Событие называется невозможным,
если оно вообще не происходит ни при
каких условиях.
Два события,
одновременное появление которых
невозможно, называются несовместными.
Пусть случайное
событие А в серии из n
независимых испытаний произошло m
раз, тогда отношение:
называется
относительной частотой события А. Для
каждой относительной частоты выполняется
неравенство:
При небольшом
числе опытов относительная частота
событий в значительной мере имеет
случайный характер и может заметно
изменяться от одной группы опытов к
другой. Однако при увеличении числа
опытов частота событий все более теряет
свой случайный характер и приближается
к некоторому постоянному положительному
числу, которое является количественной
мерой возможности реализации случайного
события А. Предел, к которому стремится
относительная частота событий при
неограниченном увеличении числа
испытаний, называется статистической
вероятностью события:
Например, при
многократном бросании монеты частота
выпадения герба будет лишь незначительно
отличаться от ½. Для достоверного события
вероятность Р(А) равна единице. Если
Р=0, то событие невозможно.
Математическим
ожиданием
дискретной случайной величины называется
сумма произведений всех ее возможных
значений хi
на вероятность этих значений рi:
Статистическим
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значений
:
,
где mi
— число дискретных случайных величин,
имеющих значение хi.
Для непрерывной
случайной величины математическим
ожиданием служит интеграл:
,
где р(х) — плотность
вероятности.
Отдельные значения
случайной величины группируются около
математического ожидания. Отклонение
случайной величины от ее математического
ожидания (среднего значения) характеризуется
дисперсией,
которая для дискретной случайной
величины определяется формулой:
(15)
(16)
Дисперсия имеет
размерность случайной величины. Для
того, чтобы оценивать рассеяние
(отклонение) случайной величины в
единицах той же размерности, введено
понятие среднего
квадратичного отклонения
σ(Х), которое
равно корню квадратному из дисперсии:
(17)
Вместо среднего
квадратичного отклонения иногда
используется термин «стандартное
отклонение».
Всякое отношение,
устанавливающее связь между всеми
возможными значениями случайной величины
и соответствующими им вероятностями,
называется законом
распределения случайной величины.
Формы задания закона распределения
могут быть разными:
а) ряд распределения
(для дискретных величин);
б) функция
распределения;
в) кривая распределения
(для непрерывных величин).
Существует
относительно много законов распределения
случайных величин.
Нормальный
закон распределения случайных
величин (закон
Гаусса).
Случайная величина
распределена по
нормальному закону, если ее плотность
вероятности f(x)
определяется формулой:
(18),
где <x>
— математическое ожидание (среднее
значение) случайной величины <x>
= M
(X);
—
среднее квадратичное отклонение;
—
основание натурального логарифма
(неперово число);
f
(x)
– плотность вероятности (функция
распределения вероятностей).
Многие случайные
величины (в том числе все случайные
погрешности) подчиняются нормальному
закону распределения (закону Гаусса).
Для этого распределения наиболее
вероятным значением
измеряемой
величины
является
её среднее
арифметическое
значение.
График нормального
закона распределения изображен на
рисунке (колоколообразная кривая).
Кривая симметрична
относительно прямой х=<x>=α,
следовательно, отклонения случайной
величины вправо и влево от <x>=α
равновероятны. При х=<x>±
кривая асимптотически приближается к
оси абсцисс. Если х=<x>,
то функция распределения вероятностей
f(x)
максимальна и принимает вид:
(19)
Таким образом,
максимальное значение функции fmax(x)
зависит от величины среднего квадратичного
отклонения. На рисунке изображены 3
кривые распределения. Для кривых 1 и 2
<x>
= α = 0 соответствующие значения среднего
квадратичного отклонения различны, при
этом 2>1.
(При увеличении
кривая распределения становится более
пологой, а при уменьшении
– вытягивается вверх). Для кривой 3 <x>
= α ≠ 0 и 3
= 2.
Закон
распределения
молекул в газах по скоростям называется
распределением
Максвелла.
Функция плотности вероятности попадания
скоростей молекул в определенный
интервал
теоретически была определена в 1860 году
английским физиком Максвеллом
. На рисунке
распределение Максвелла представлено
графически. Распределение движется
вправо или влево в зависимости от
температуры газа (на рисунке Т1
< Т2).
Закон распределения Максвелла определяется
формулой:
(20),
где mо
– масса молекулы, k
– постоянная Больцмана, Т – абсолютная
температура газа,
—
скорость молекулы.
Распределение
концентрации молекул газа в атмосфере
Земли (т.е.
в силовом поле) в зависимости от высоты
было дано австрийским физиком Больцманом
и называется
распределением
Больцмана:
(21)
Где n(h)
– концентрация молекул газа на высоте
h,
n0
– концентрация у поверхности Земли, g
– ускорение свободного падения, m
– масса молекулы.
Распределение
Больцмана.
Совокупность всех
значений случайной величины называется
простым
статистическим рядом.
Так как простой статистический ряд
оказывается большим, то его преобразуют
в вариационный
статистический
ряд или интервальный
статистический ряд. По интервальному
статистическому ряду для оценки вида
функции распределения вероятностей по
экспериментальным данным строят
гистограмму
– столбчатую
диаграмму. (Гистограмма – от греческих
слов “histos”–
столб и “gramma”–
запись).
n
-
h
Гистограмма
распределения Больцмана.
Для построения
гистограммы интервал, содержащий
полученные значения случайной величины
делят на несколько интервалов xi
одинаковой ширины. Для каждого интервала
подсчитывают число mi
значений случайной величины, попавших
в этот интервал. После этого вычисляют
плотность частоты случайной величины
для каждого интервала xi
и среднее значение случайной величины
<xi
> в каждом интервале.
Затем по оси абсцисс
откладывают интервалы xi,
являющиеся основаниями прямоугольников,
высота которых равна
(или
высотой
– плотностью относительной частоты
).
Расчетами показано,
что вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины в
интервале значений от <x>–
до <x>+
в среднем равна 68%. В границах вдвое
более широких (<x>–2;
<x>+2)
размещается в среднем 95% всех значений
измерений, а в интервале (<x>–3;<x>+3)
– уже 99,7%. Таким образом, вероятность
того, что отклонение значений нормально
распределенной случайной величины
превысит 3
(
– среднее квадратичное отклонение)
чрезвычайно мала (~0,003). Такое событие
можно считать практически невозможным.
Поэтому границы <x>–3
и <x>+3
принимаются за границы практически
возможных значений нормально распределенной
случайной величины («правило трех
сигм»).
Если число измерений
(объем выборки) невелико (n<30),
дисперсия вычисляется по формуле:
(22)
Уточненное среднее
квадратичное отклонение отдельного
измерения вычисляется по формуле:
(23)
Напомним, что для
эмпирического распределения по выборке
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значение
<x>
измеряемой величины.
Чтобы дать
представление о точности и надежности
оценки измеряемой величины, используют
понятия доверительного интервала и
доверительной вероятности.
Доверительным
интервалом
называется интервал (<x>–x,
<x>+x),
в который по определению попадает с
заданной вероятностью действительное
(истинное) значение измеряемой величины.
Доверительный интервал характеризует
точность полученного результата: чем
уже доверительный интервал, тем меньше
погрешность.
Доверительной
вероятностью
(надежностью)
результата серии измерений называется
вероятность того, что истинное значение
измеряемой величины попадает в данный
доверительный интервал (<x>±x).
Чем больше величина доверительного
интервала, т.е. чем больше x,
тем с большей надежностью величина <x>
попадает в этот интервал. Надежность
выбирается самим исследователем
самостоятельно, например, =0,95;
0,98. В медицинских и биологических
исследованиях, как правило, доверительную
вероятность (надежность) принимают
равной 0,95.
Если величина х
подчиняется нормальному закону
распределения Гаусса, а <x>
и <>
оцениваются по выборке (числу измерений)
и если объем выборки невелик (n<30),
то интервал (<x>
– t,n<>,
<x>
+ t,n<>)
будет доверительным интервалом для
известного параметра х с доверительной
вероятностью .
Коэффициент t,n
называется коэффициентом
Стьюдента
(этот коэффициент был предложен в 1908 г.
английским математиком и химиком В.С.
Госсетом, публиковавшим свои работы
под псевдонимом «Стьюдент» – студент).
Значении коэффициента
Стьюдента t,n
зависит от доверительной вероятности
и числа измерений n
(объема выборки). Некоторые значения
коэффициента Стьюдента приведены в
таблице 1.
Таблица 1
|
n |
|
||||||
|
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
|
|
2 |
1,38 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
|
3 |
1,06 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
|
4 |
0,98 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
|
5 |
0,94 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
|
6 |
0,92 |
1,2 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
|
7 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
|
8 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
|
9 |
0,90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
|
10 |
0,88 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
В таблице 1 в верхней
строке заданы значения доверительной
вероятности
от 0,6 до 0,99, в левом столбце – значение
n.
Коэффициент Стьюдента следует искать
на пересечении соответствующих строки
и столбца.
Окончательный
результат измерений записывается в
виде:
(25)
Где
– полуширина доверительного интервала.
Результат серии
измерений оценивается относительной
погрешностью:
(26)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Download Article
Download Article
Absolute error is the difference between the measured value and the actual value.[1]
It is one way to consider error when measuring the accuracy of values. If you know the actual and measured values, calculating the absolute error is a simple matter of subtraction. Sometimes, however, you may be missing the actual value, in which case you should use the maximum possible error as the absolute error.[2]
If you know the actual value and the relative error, you can work backwards to find the absolute error.
-
1
Set up the formula for calculating the absolute error. The formula is
, where equals the absolute error (the difference, or change, in the measured and actual value), equals the measured value, and equals the actual value.[3]
-
2
Plug the actual value into the formula. The actual value should be given to you. If not, use a standardly accepted value. Substitute this value for
.[4]
- For example, you might be measuring the length of a football field. You know that the actual, or accepted length of a professional American football field is 360 feet (including both end zones). So, you would use 360 as the actual value:.
Advertisement
- For example, you might be measuring the length of a football field. You know that the actual, or accepted length of a professional American football field is 360 feet (including both end zones). So, you would use 360 as the actual value:
-
3
Find the measured value. This will be given to you, or you should make the measurement yourself. Substitute this value for
.
- For example, if you measure the football field and find that it is 357 feet long, you would use 357 as the measured value:.
- For example, if you measure the football field and find that it is 357 feet long, you would use 357 as the measured value:
-
4
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.[5]
- For example, since , the absolute error of your measurement is 3 feet.
- For example, since
Advertisement
-
1
Set up the formula for relative error. The formula is
, where equals the relative error (the ratio of the absolute error to the actual value), equals the measured value, and equals the actual value.[6]
-
2
Plug in the value for the relative error. This will likely be a decimal. Make sure you substitute it for
.
- For example, if you know that the relative error is .025, your formula will look like this: .
- For example, if you know that the relative error is .025, your formula will look like this:
-
3
Plug in the value for the actual value. This information should be given to you. Make sure you substitute this value for
.
- For example, if you know that the actual value is 360 ft, your formula will look like this: .
- For example, if you know that the actual value is 360 ft, your formula will look like this:
-
4
Multiply each side of the equation by the actual value. This will cancel out the fraction.
-
5
Add the actual value to each side of the equation. This will give you the value of
, giving you the measured value.
-
6
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.[7]
- For example, if the measured value is 369 ft, and the actual value is 360 feet, you would subtract . So, the absolute error is 9 feet.
- For example, if the measured value is 369 ft, and the actual value is 360 feet, you would subtract
Advertisement
-
1
Determine the measuring unit. This is the “to the nearest” value. This might be explicitly stated (for example, “The building was measured to the nearest foot.”), but it doesn’t have to be. To determine the measuring unit, just look at what place value the measurement is rounded to.
- For example, if the measured length of a building is stated as 357 feet, you know that the building was measured to the nearest foot. So, the measuring unit is 1 foot.
-
2
-
3
Use the maximum possible error as the absolute error.[9]
Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.- For example, if you find the measurement of a building to be , the absolute error is .5 ft.
- For example, if you find the measurement of a building to be
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I find absolute error of any equation?
An equation does not contain an «absolute error.» Re-read the introduction above.
-
Question
How do I find the root value of a 6-digit number?
-
Question
What is the absolute error in 2.11?
As explained above, the concept of «absolute error» involves both a measured value and an «actual» value.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
If the actual value is not given, you can look for the accepted or theoretical value.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate the absolute error, use the formula, “Absolute Error = Measured Value — Actual Value.” Begin by plugging the actual value into the formula, which will either be given to you or is the standardly accepted value. Then, make a measurement and put the measured value into the formula. Finally, subtract the actual value from the measure value to calculate the absolute error. If there are any negative signs, ignore them when you record your answer. To learn how to find the absolute error if you don’t have the measured value, keep reading.
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 193,656 times.
Did this article help you?
Download Article
Download Article
Absolute error is the difference between the measured value and the actual value.[1]
It is one way to consider error when measuring the accuracy of values. If you know the actual and measured values, calculating the absolute error is a simple matter of subtraction. Sometimes, however, you may be missing the actual value, in which case you should use the maximum possible error as the absolute error.[2]
If you know the actual value and the relative error, you can work backwards to find the absolute error.
-
1
Set up the formula for calculating the absolute error. The formula is
, where equals the absolute error (the difference, or change, in the measured and actual value), equals the measured value, and equals the actual value.[3]
-
2
Plug the actual value into the formula. The actual value should be given to you. If not, use a standardly accepted value. Substitute this value for
.[4]
- For example, you might be measuring the length of a football field. You know that the actual, or accepted length of a professional American football field is 360 feet (including both end zones). So, you would use 360 as the actual value:.
Advertisement
- For example, you might be measuring the length of a football field. You know that the actual, or accepted length of a professional American football field is 360 feet (including both end zones). So, you would use 360 as the actual value:
-
3
Find the measured value. This will be given to you, or you should make the measurement yourself. Substitute this value for
.
- For example, if you measure the football field and find that it is 357 feet long, you would use 357 as the measured value:.
- For example, if you measure the football field and find that it is 357 feet long, you would use 357 as the measured value:
-
4
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.[5]
- For example, since , the absolute error of your measurement is 3 feet.
- For example, since
Advertisement
-
1
Set up the formula for relative error. The formula is
, where equals the relative error (the ratio of the absolute error to the actual value), equals the measured value, and equals the actual value.[6]
-
2
Plug in the value for the relative error. This will likely be a decimal. Make sure you substitute it for
.
- For example, if you know that the relative error is .025, your formula will look like this: .
- For example, if you know that the relative error is .025, your formula will look like this:
-
3
Plug in the value for the actual value. This information should be given to you. Make sure you substitute this value for
.
- For example, if you know that the actual value is 360 ft, your formula will look like this: .
- For example, if you know that the actual value is 360 ft, your formula will look like this:
-
4
Multiply each side of the equation by the actual value. This will cancel out the fraction.
-
5
Add the actual value to each side of the equation. This will give you the value of
, giving you the measured value.
-
6
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.[7]
- For example, if the measured value is 369 ft, and the actual value is 360 feet, you would subtract . So, the absolute error is 9 feet.
- For example, if the measured value is 369 ft, and the actual value is 360 feet, you would subtract
Advertisement
-
1
Determine the measuring unit. This is the “to the nearest” value. This might be explicitly stated (for example, “The building was measured to the nearest foot.”), but it doesn’t have to be. To determine the measuring unit, just look at what place value the measurement is rounded to.
- For example, if the measured length of a building is stated as 357 feet, you know that the building was measured to the nearest foot. So, the measuring unit is 1 foot.
-
2
-
3
Use the maximum possible error as the absolute error.[9]
Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.- For example, if you find the measurement of a building to be , the absolute error is .5 ft.
- For example, if you find the measurement of a building to be
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I find absolute error of any equation?
An equation does not contain an «absolute error.» Re-read the introduction above.
-
Question
How do I find the root value of a 6-digit number?
-
Question
What is the absolute error in 2.11?
As explained above, the concept of «absolute error» involves both a measured value and an «actual» value.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
If the actual value is not given, you can look for the accepted or theoretical value.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate the absolute error, use the formula, “Absolute Error = Measured Value — Actual Value.” Begin by plugging the actual value into the formula, which will either be given to you or is the standardly accepted value. Then, make a measurement and put the measured value into the formula. Finally, subtract the actual value from the measure value to calculate the absolute error. If there are any negative signs, ignore them when you record your answer. To learn how to find the absolute error if you don’t have the measured value, keep reading.
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 193,656 times.
Did this article help you?
ВИДЕО УРОК
Абсолютная погрешность.
Разность между истинным значением измеряемой величины
и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью.
Для подсчёта
абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.
Существует формула
абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а –
приближение к точному числу. Приближённое число – это число, которое
незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда
формула будет выглядеть следующим образом:
∆а = А – а.
ПРИМЕР:
В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400,
то абсолютная погрешность измерения равна:
400 – 374 = 26.
ПРИМЕР:
На предприятии 1284 рабочих и
служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная
погрешность составляет
1300 – 1284 = 16.
При округлении до 1280 абсолютная
погрешность составляет
1284 – 1280 = 4.
Редко когда можно
точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную
погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе
границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого
числа она не превосходит.
ПРИМЕР:
Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не
превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.
Записывают
абсолютную погрешность числа, используя знак
±.
ПРИМЕР:
Длина рулона обоев составляет.
30 м ± 3
см.
Границу абсолютной
погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Но абсолютная
погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том,
насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно
разобраться в таком примере.
ПРИМЕР:
Допустим, что при измерении коридора длиной в 20
м мы допустили абсолютную погрешность
всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги,
имеющий 18
см длины, мы тоже допустили абсолютную
погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать
превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что
на 20
м ошибка в 1
см вполне допустима и неизбежна, но
на 18
см такая ошибка является очень грубой.
Отсюда ясно, что для оценки качества измерения
существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от
измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см
составляет
долю
измеряемой величины, а при измерении корешка книги погрешность в 1 см составляет
долю
измеряемой величины.
Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18
см длины и допустив погрешность в 1
см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1
см была допущена при измерении коридора
длиной в 20
м, то это измерение можно считать максимально точным.
Если ошибка,
возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным
инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве
абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на
линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.
Тогда
значение измеряемой длины предмета будет значение ближайшей метки линейки.
Поэтому, если измерение выполнено аккуратно, то истинная длина предмета может
отличаться от измеренной длины не более чем на половину деления шкалы, то есть 0,5 мм.
ПРИМЕР:
Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями 0,5 см и линейка с
делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5
см от истинной, не
должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае
0,1 см.
Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то
p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.
Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае ∆l = 0,5 и, следовательно,
3
≤ l ≤ 4,
в другом – ∆l = 0,1 и
3,4
≤ l ≤ 3,6.
ПРИМЕР:
Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.
РЕШЕНИЕ:
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной погрешности не
превышает 1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет
0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%
измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает
1 км
на 650 км, что в процентном соотношении составляет
1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%
измеряемой величины.
Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата А4.
Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.
Относительная погрешность.
Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.
Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.
Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.
ПРИМЕР:
Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:
14,7 ≈ 15,
Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.
ПРИМЕР:
При измерении в (сантиметрах) толщины
b
стекла и длины l книжной полки
получили следующие результаты:
b ≈ 0,4 с
точностью до 0,1,
l ≈ 100 с
точностью до 0,1.
Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит 0,1. Однако 0,1 составляет
существенную часть числа 0,4 и
ничтожную часть числа 100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.
В результате измерения нашли,
что b ≈ 0,4 с точностью до 0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит 0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно
то есть относительная погрешность приближения не превосходит 25%.
Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит
Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до 25%,
а во втором – с относительной точностью до 0,1%.
ПРИМЕР:
Если взять абсолютную погрешность в 1
см, при измерении длины отрезков 10
см и 10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для
отрезка длиной в 10 см погрешность
в 1
см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.
Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.
Различают
систематические и случайные погрешности.
Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.
Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.
В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
ПРИМЕР:
Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50
г. Относительная погрешность не превосходит
50/3600 ≈
1,4%.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.
В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность 1,4%.
Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность
100 г, 150 г и вообще всякое
число, большее чем 50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.
Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой а,
Правила округления.
На практике
относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление
с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.
ПРИМЕР:
Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна:
ПРИМЕР:
Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровым
делением. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого
измерения ?
РЕШЕНИЕ:
Здесь а =
17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью
до 1 мм
измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную
погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но
у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину). Относительная погрешность равна
Округляя, находим
ПРИМЕР:
Цилиндрический поршень имеет около 35
мм в диаметре. С какой точностью нужно
его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05% ?
РЕШЕНИЕ:
По условию, предельная относительная
погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная
погрешность равна
или, усиливая, 0,02
мм.
Можно воспользоваться
формулой
Подставляя в формулу
а = 35,
𝛿 = 0,0005,
имеем
Значит,
∆
= 35 × 0,0005 = 0,0175 мм.
Действия над приближёнными числами.
Сложение и вычитание приближённых чисел.
Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме
абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
ПРИМЕР:
Складываются приближённые числа
265 и 32.
РЕШЕНИЕ:
Пусть предельная погрешность первого есть 5,
а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна
5
+ 1 = 6.
Так, если истинное значение первого есть 270,
а второго 33, то приближённая сумма
265
+ 32 = 297
на 6 меньше истинной
270
+ 33 = 303.
ПРИМЕР:
Найти сумму приближённых чисел:
0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
РЕШЕНИЕ:
Сложение даёт следующий результат – 0,6187.
Предельная погрешность каждого слагаемого
0,00005.
Предельная погрешность суммы:
0,00005
∙ 9 = 0,00045.
Значит, в последнем (четвёртом) знаке суммы возможна ошибка до 5
единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, то есть до тысячных.
Получаем 0,619,
здесь все знаки верные.
При значительном
числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому
истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной
погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего
примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может
отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.
Например, первое
слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше
истинного на одну единицу и так далее.
Расчёт показывает,
что число всех возможных случаев распределения погрешностей составляет около
одного миллиарда. Между тем лишь в двух случаях погрешность суммы может
достигнуть предельной погрешности 0,00045,
это произойдёт:
– когда истинная величина каждого слагаемого больше
приближённой величины на 0,00005;
– когда истинная величина каждого слагаемого меньше
приближённой величины на 0,00005.
Значит, случаи,
когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.
Дальнейший расчёт
показывает, что случаи, когда погрешность суммы девяти слагаемых может
превысить три единицы последнего знака, тоже очень редки. Они составляют
лишь 0,07%
из числа всех
возможных. Две единицы последнего знака погрешность может превысить 2% всех возможных случаев, а одну единицу –
примерно в 25%.
В остальных 75% случаев погрешность девяти слагаемых не
превышает одной единицы последнего знака.
ПРИМЕР:
Найти сумму точных чисел:
0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
РЕШЕНИЕ:
Сложение даёт следующий результат – 0,6187.
Округлим их до тысячных и сложим:
0,091
+ 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067
+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.
Предельная погрешность суммы:
0,0005
∙ 9 = 0,0045.
Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003,
то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака
приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо
неверной.
Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь
предельная погрешность суммы будет:
0,005
∙ 9 = 0,045.
Между тем получим:
0,09
+ 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07
+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.
Истинная погрешность составляет только 0,0013.
Предельная абсолютная погрешность разности двух величин
равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
ПРИМЕР:
Пусть предельная погрешность приближённого
уменьшаемого 85 равна 2,
а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3.
Предельная погрешность разности
85
– 32 = 53
есть
2
+ 3 = 5.
В самом деле, истинное значение уменьшаемого и
вычитаемого могут равняться
85
+ 2 = 87 и
32
– 3 = 29.
Тогда истинная разность есть
87
– 29 = 58.
Она на 5 отличается от
приближённой разности 53.
Относительная погрешность суммы и разности.
Предельную
относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала
предельную абсолютную погрешность.
Предельная
относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и
наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют
одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность,
то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную
погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном
выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых
сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.
ПРИМЕР:
Найти предельную абсолютную и предельную относительную
погрешность суммы чисел:
24,4
+ 25,2 + 24,7.
РЕШЕНИЕ:
В каждом слагаемом суммы
24,4
+ 25,2 + 24,7 = 74,3
предельная относительная погрешность примерно одна и та
же, а именно:
0,05
: 25 = 0,2%.
Такова же она и для суммы.
Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15,
а относительная
0,15
: 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.
В противоположность
сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и
вычитаемое. <<Потеря точности>> особенно велика в том случае, когда
уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
Относительные погрешности при сложении и вычитании
складывать нельзя.
Умножение и деление приближённых чисел.
При делении и умножении чисел требуется сложить
относительные погрешности.
ПРИМЕР:
Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20, и пусть предельная относительная погрешность первого
сомножителя есть 0,4%, а второго
0,5%.
Тогда предельная относительная погрешность произведения
50
× 20 = 1000
приближённо равна 0,9%.
В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть
50
× 0,004 = 0,2,
а второго
20
× 0,005 = 0,1.
Поэтому истинная величина произведения не больше чем
(50
+ 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,
и не меньше, чем
(50
– 0,2)(20 – 0,1) = 991,022.
Если истинная величина произведения есть 1009,2,
то погрешность произведения равна
1009,2
– 1000 = 9,02,
а если 991,02, то погрешность произведения равна
1000
– 991,02 = 8,98.
Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит,
предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02.
Предельная относительная погрешность равна
9,02
: 1000 = 0,902%,
то есть приближённо 0,9%.
Задания к уроку 16
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
- Урок 1. Числовые неравенства
- Урок 2. Свойства числовых неравенств
- Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
- Урок 4. Числовые промежутки
- Урок 5. Линейные неравенства
- Урок 6. Системы линейных неравенств
- Урок 7. Нелинейные неравенства
- Урок 8. Системы нелинейных неравенств
- Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
- Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
- Урок 11. Неравенства с модулем
- Урок 12. Иррациональные неравенства
- Урок 13. Неравенства с двумя переменными
- Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
- Урок 15. Приближённые вычисления
Статья обновлена 10.07.2022
Что такое погрешность измерения
Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.
- Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
- Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.
Математическая погрешность: формула для каждого типа
Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?
Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.
Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.
Абсолютная погрешность измерений: формула
Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.
Относительная погрешность: формула
Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому значению.
Приведенная погрешность: формула
Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.
Классификация оценочной погрешности
Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.
Что такое случайная погрешность
Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.
Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.
Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.
Что такое систематическая погрешность
Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.
В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения.
Погрешность выборки
Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.
Погрешность структуры
Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.
Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.
Погрешность аудитории
Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.
Погрешность отбора
Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.
Как минимизировать погрешность выборки
- Знайте свою аудиторию.
Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам. - Разделите аудиторию на группы.
Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию. - Увеличьте размер выборки.
Больший размер выборки приводит к более точному результату.
Погрешность измерения
Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.
К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.
Ошибка цели
Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.
Предвзятость ответов
Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.
Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.
Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.
Предвзятость интервьюера
Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.
Ошибка обработки
Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.
Ошибка ввода
Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.
Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.
Как минимизировать погрешность измерения
- Предварительно протестируйте.
Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью. - Проводите выборку случайным образом.
Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка. - Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования. - Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.
Мир без ошибок не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.
Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2248.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2248.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2248.
А какая ваша оценка?
2.1. Погрешности измерений, их классификация
Истинное значение
физической величины
– значение физической величины, которое
идеальным образом отражало бы в
количественном и качественном отношениях
соответствующее свойство объекта.
Результат любого
измерения отличается от истинного
значения физической величины на некоторое
значение, зависящее от точности средств
и методов измерения, квалификации
оператора, условий, в которых проводилось
измерение, и т. д. Отклонение результата
измерения от истинного значения
физической величины называется
погрешностью
измерения.
Поскольку определить
истинное значение физической величины
в принципе невозможно, так как это
потребовало бы применения идеально
точного средства измерений, то на
практике вместо понятия истинного
значения физической величины применяют
понятие действительного
значения измеряемой величины,
которое настолько точно приближается
к истинному значению, что может быть
использовано вместо него. Это может
быть, например, результат измерения
физической величины образцовым средством
измерения.
Абсолютная
погрешность измерения
(Δ) – это разность между результатом
измерения х
и действительным (истинным) значением
физической величины хи:
Δ
= х –
хи.
(2.1)
Относительная
погрешность измерения
(δ) – это отношение абсолютной погрешности
к действительному (истинному) значению
измеряемой величины (часто выраженное
в процентах):
δ
= (Δ / хи)·100 %
(2.2)
Приведенная
погрешность (γ)
– это выраженное в процентах отношение
абсолютной погрешности к нормирующему
значению ХN
– условно принятому значению физической
величины, постоянному во всем диапазоне
измерений:
γ =
(Δ /ХN)·100 %
(2.3)
Для приборов с
нулевой отметкой на краю шкалы нормирующее
значение ХN
равно конечному значению диапазона
измерений. Для приборов с двухсторонней
шкалой, т. е. с отметками шкалы,
расположенными по обе стороны от нуля
значение ХN
равно арифметической сумме модулей
конечных значений диапазона измерения.
Погрешность
измерения (результирующая
погрешность)
является суммой двух составляющих:
систематической
и случайной
погрешностей.
Систематическая
погрешность
– это составляющая погрешности измерения,
остающаяся постоянной или закономерно
изменяющаяся при повторных измерениях
одной и той же величины. Причинами
появления систематической погрешности
могут являться неисправности средств
измерений, несовершенство метода
измерений, неправильная установка
измерительных приборов, отступление
от нормальных условий их работы,
особенности самого оператора.
Систематические погрешности в принципе
могут быть выявлены и устранены. Для
этого требуется проведение тщательного
анализа возможных источников погрешностей
в каждом конкретном случае.
Систематические
погрешности подразделяются на:
-
методические;
-
инструментальные;
-
субъективные.
Методические
погрешности
происходят от несовершенства метода
измерения, использования упрощающих
предположений и допущений при выводе
применяемых формул, влияния измерительного
прибора на объект измерения. Например,
измерение температуры с помощью термопары
может содержать методическую погрешность,
вызванную нарушением температурного
режима объекта измерения вследствие
внесения термопары.
Инструментальные
погрешности
зависят от погрешностей применяемых
средств измерения. Неточность градуировки,
конструктивные несовершенства, изменения
характеристик прибора в процессе
эксплуатации и т. д. являются причинами
основных погрешностей инструмента
измерения.
Субъективные
погрешности
вызываются неправильными отсчетами
показаний прибора человеком (оператором).
Например, погрешность от параллакса,
вызванная неправильным направлением
взгляда при наблюдении за показаниями
стрелочного прибора. Использование
цифровых приборов и автоматических
методов измерения позволяет исключить
такого рода погрешности.
Во многих случаях
систематическую погрешность в целом
можно представить как сумму двух
составляющих: аддитивной
(∆а)
и
мультипликативной
(∆м).
Если реальная
характеристика средства измерения
смещена относительно номинальной так,
что при всех значениях преобразуемой
величины Х
выходная величина Y
оказывается больше (или меньше) на одну
и ту же величину Δ, то такая погрешность
называется аддитивной
погрешностью нуля (рис.
2.1).
Мультипликативная
погрешность
– это погрешность чувствительности
средства измерения.
Такой подход
позволяет легко скомпенсировать влияние
систематической погрешности на результат
измерения путем введения раздельных
поправочных коэффициентов для каждой
из этих двух составляющих.
Рис.
2.1. К пояснению понятий аддитивной 
и
мультипликативной погрешностей
Случайная
погрешность (∆с)
– это составляющая погрешности измерения,
изменяющаяся случайным образом при
повторных измерениях одной и той же
величины. Наличие случайных погрешностей
выявляется при проведении ряда измерений
постоянной физической величины, когда
оказывается, что результаты измерений
не совпадают друг с другом. Часто
случайные погрешности возникают из-за
одновременного действия многих
независимых причин, каждая из которых
в отдельности слабо влияет на результат
измерения.
Во многих случаях
влияние случайных погрешностей можно
уменьшить путем выполнения многократных
измерений с последующей статистической
обработкой полученных результатов.
В некоторых случаях
оказывается, что результат одного
измерения резко отличается от результатов
других измерений, выполненных при тех
же контролируемых условиях. В этом
случае говорят о грубой погрешности
(промахе измерения). Причиной могут
послужить ошибка оператора, возникновение
сильной кратковременной помехи, толчок,
нарушение электрического контакта и
т. д. Такой результат, содержащий
грубую
погрешность
необходимо выявить, исключить и не
учитывать при дальнейшей статистической
обработке результатов измерений.
Причины
возникновения погрешностей измерений
Имеется ряд
слагаемых погрешностей, которые являются
доминирующими в общей погрешности
измерений. К ним относятся:
-
Погрешности,
зависящие от средств измерений.
Нормируемую допустимую погрешность
средства измерения следует рассматривать
как погрешность измерения при одном
из возможных вариантов использования
этого средства
измерения. -
Погрешности,
зависящие от установочных мер.
Установочные меры могут быть универсальными
(концевые меры) и специальными
(изготовленными по виду измеряемой
детали). Погрешность измерения будет
меньшее, если установочная мера будет
максимально подобна измеряемой детали
о конструкции, массе, материалу, его
физическим свойствам, способу базирования
и т. д. Погрешности от концевых мер длины
возникают из-за погрешности изготовления
или погрешности аттестации, а также
из-за погрешности их притирки. -
Погрешности,
зависящие от измерительного усилия.
При оценке влияния измерительного
усилия на погрешность измерения
необходимо выделить упругие деформации
установочного узла и деформации в зоне
контакта измерительного наконечника
с деталью. -
Погрешности,
происходящие от температурных деформаций.
Погрешности возникают из-за разности
температур объекта измерения и
измерительного средства. Существует
два основных источника, обуславливающих
погрешность от температурных деформаций:
отклонение температуры воздуха от
20 °С и кратковременные колебания
температуры воздуха в процессе измерения. -
Погрешности,
зависящие от оператора
(субъективные погрешности). Возможны
четыре вида субъективных погрешностей:
-
погрешность
отсчитывания
(особенно важна, когда обеспечивается
погрешность измерения, не превышающая
цену деления); -
погрешность
присутствия
(проявляется в виде влияния теплоизлучения
оператора на температуру окружающей
среды, а тем самым и на измерительное
средство); -
погрешность
действия
(вносится оператором при настройке
прибора); -
профессиональные
погрешности
(связаны с квалификацией оператора, с
отношением его к процессу измерения).
-
Погрешности при
отклонениях от правильной геометрической
формы. -
Дополнительные
погрешности при измерении внутренних
размеров.
При характеристике
погрешностей средств измерений часто
пользуются
понятием
предела допускаемой погрешности средств
измерений.
Предел допускаемой
погрешности средства измерений
– это наибольшая, без учета знака,
погрешность средства измерений, при
котором оно может быть признано и
допущено к применению. Определение
применимо к основной и дополнительной
погрешности средств измерений.
Учет всех нормируемых
метрологических характеристик средств
измерений является сложной и трудоемкой
процедурой. На практике такая точность
не нужна. Поэтому для средств измерений,
используемых в повседневной практике,
принято деление на классы
точности,
которые дают их обобщенную метрологическую
характеристику.
Требования к
метрологическим характеристикам
устанавливаются в стандартах на средства
измерений конкретного типа.
Классы точности
присваиваются средствам измерений с
учетом результатов государственных
приемочных испытаний.
Класс точности
средства измерений
– обобщенная характеристика средства
измерений, определяемая пределами
допускаемых основных и дополнительных
погрешностей. Класс точности может
выражаться одним числом или дробью
(если аддитивная и мультипликативная
погрешности сопоставимы – например,
0,2/0,05 – адд./мульт.).
Обозначения классов
точности наносятся на циферблаты, щитки
и корпуса средств измерений, приводятся
в нормативно-технических документах.
Классы точности могут обозначаться
буквами (например, М, С и т. д.) или
римскими цифрами (I,
II,
III
и т. д.). Обозначение классов точности
по ГОСТу 8.401-80 может сопровождаться
дополнительными условными знаками:
-
0,5;
1,6; 2,5 и т. д. – для приборов, приведенная
погрешность которых составляет 0,5; 1,6;
2,5 % от нормирующего значения XN.
При этом XN
принимается равным большему из модулей
пределов измерений, если нулевое
значение входного (выходного) сигнала
находится на краю или вне диапазона
измерений;
0,5;-
0,1,
0,4, 1,0 и т. д. – для приборов, у которых
относительная
погрешность
составляет 0,1; 0,4; 1,0 % непосредственно
от полученного значения измеряемой
величины x; -
0,02/0,01 – для
приборов, у которых измеряемая величина
не может отличаться от значения x,
показанного указателем, больше, чем на
[С+d(|XN/x|-1)]%,
где C
и d
– числитель и знаменатель соответственно
в обозначении класса точности; XN
– больший
(по модулю) из пределов измерений
прибора.
0,1,
Примеры обозначения
классов точности приведены на рис. 2.2.
Рис.
2.2. Лицевые панели приборов:
а
– вольтметра
класса точности 0,5; б
– амперметра
класса точности 1,5;
в
– амперметра
класса точности 0,02/0,01;
г
– мегомметра класса точности 2,5 с
неравномерной шкалой
Метрологическая
надежность средств измерения
В процессе
эксплуатации любого средства измерения
может возникнуть неисправность или
поломка, называемые отказом.
Метрологическая
надежность
средств
измерения
– это свойство средств измерений
сохранять установленные значения
метрологических характеристик в течение
определенного времени при нормальных
режимах и рабочих условиях эксплуатации.
Она характеризуется интенсивностью
отказов, вероятностью безотказной
работы и наработкой на отказ.
Интенсивность
отказов
определяется выражением:
,
(2.1)
где
L
– число отказов; N
– число однотипных элементов; ∆t
– промежуток времени.
Для средств
измерения, состоящего из
n
типов элементов, интенсивность
отказов
рассчитывается как
(2.2)
где
mi
–
количество элементов i-го
типа.
Вероятность
безотказной работы:
(2.3)
Наработка на
отказ:
(2.4)
Для внезапного
отказа, интенсивность отказов которого
не зависит от времени работы средства
измерения:
(2.5)
Межповерочный
интервал, в
течение которого обеспечивается заданная
вероятность безотказной работы,
определяется по формуле:
,
(2.6)
где
Pмо
– вероятность метрологического отказа
за время между поверками; P(t)
– вероятность безотказной работы.
В процессе
эксплуатации может производиться
корректировка межповерочного интервала.
Поверка средств
измерения
В основе обеспечения
единообразия средств измерений лежит
система передачи размера единицы
измеряемой величины. Технической формой
надзора за единообразием средств
измерений является государственная
(ведомственная) поверка средств измерений,
устанавливающая их метрологическую
исправность.
Поверка
– определение метрологическим органом
погрешностей средства измерений и
установление его пригодности к применению.
Пригодным к
применению в течение определенного
межповерочного
интервала
времени признают те СИ, поверка которых
подтверждает их соответствие
метрологическим и техническим требованиям
к данному СИ.
Средства измерений
подвергают первичной, периодической,
внеочередной, инспекционной и экспертной
поверкам.
Первичной поверке
подвергаются
СИ при выпуске из производства или
ремонта, а также СИ, поступающие по
импорту.
Периодической
поверке подлежат
СИ, находящиеся в эксплуатации или на
хранении через определенные межповерочные
интервалы, установленные с расчетом
обеспечения пригодности к применению
СИ на период между поверками.
Инспекционную
поверку производят
для выявления пригодности к применению
СИ при осуществлении госнадзора и
ведомственного метрологического
контроля за состоянием и применением
СИ.
Экспертную
поверку выполняют
при возникновении спорных вопросов по
метрологическим характеристикам (MX),
исправности СИ и пригодности их к
применению.
Достоверная
передача размера единиц во всех звеньях
метрологической цепи от эталонов или
от исходного образцового средства
измерений к рабочим средствам измерений
производится в определенном порядке,
приведенном в поверочных схемах.
Поверочная схема
– это утвержденный в установленном
порядке документ, регламентирующий
средства, методы и точность передачи
размера единицы физической величины
от государственного эталона или исходного
образцового средства измерений рабочим
средствам.
Различают
государственные, ведомственные и
локальные поверочные схемы органов
государственной или ведомственных
метрологических служб.
Государственная
поверочная схема
распространяется на все средства
измерений данной ФВ, имеющиеся в стране.
Устанавливая многоступенчатый порядок
передачи размера единицы ФВ от
государственного эталона, требования
к средствам и методам поверки,
государственная поверочная схема
представляет собой структуру
метрологического обеспечения определённого
вида измерений в стране. Эти схемы
разрабатываются главными центрами
эталонов и оформляются одним ГОСТом
ГСИ.
Локальные
поверочные схемы
распространяются на средства измерений,
подлежащие поверке в данном метрологическом
подразделении на предприятии, имеющем
право поверки средств измерений, и
оформляются в виде стандарта предприятия.
Ведомственные и локальные поверочные
схемы не должны противоречить
государственным и должны учитывать их
требования применительно к специфике
конкретного предприятия.
Ведомственная
поверочная схема
разрабатывается органом ведомственной
метрологической службы, согласовывается
с главным центром эталонов – разработчиком
государственной поверочной схемы
средств измерений данной ФВ и
распространяется только на средства
измерений, подлежащие внутриведомственной
поверке.
Поверочная схема
устанавливает передачу размера единиц
одной или нескольких взаимосвязанных
величин. Она должна включать не менее
двух ступеней передачи размера. Поверочную
схему для СИ одной и той же величины,
существенно отличающихся по диапазонам
измерений, условиям применения и методам
поверки, а также для СИ нескольких ФВ
допускается подразделять на части. На
чертежах поверочной схемы должны быть
указаны:
-
наименования СИ
и методов поверки; -
номинальные
значения ФВ или их диапазоны; -
допускаемые
значения погрешностей СИ; -
допускаемые
значения погрешностей методов поверки.
Правила расчета параметров поверочных
схем и оформления чертежей поверочных
схем приведены в ГОСТ 8.061-80 «ГСИ.
Поверочные схемы. Содержание и построение»
и в рекомендациях МИ 83-76 «Методика
определения параметров поверочных
схем».
Калибровка
средств измерения
Калибровка
средства измерений
– это
совокупность операций, выполняемых
калибровочной лабораторией с целью
определения и подтверждения действительных
значений метрологических характеристик
и (или) пригодности средства измерений
к применению в сферах, не подлежащих
государственному метрологическому
контролю и надзору в соответствии с
установленными требованиями.
Результаты
калибровки средств измерений удостоверяются
калибровочным
знаком,
наносимым на средства измерений, или
сертификатом
о калибровке,
а также записью
в эксплуатационных документах.
Поверку (обязательная
госповерка) может выполнять, как правило,
орган государственной метрологической
службы, а калибровку –
любая
аккредитованная и неаккредитованная
организация.
Поверка обязательна
для средств измерений, применяемых в
сферах, подлежащих государственному
метрологическому контролю (ГМК),
калибровка же –
процедура
добровольная, поскольку относится к
средствам измерений, не подлежащим ГМК.
Предприятие вправе самостоятельно
решать вопрос о выборе форм и режимов
контроля состояния средств измерений,
за исключением тех областей применения
средств измерений, за которыми государства
всего мира устанавливают свой контроль
– это
здравоохранение, безопасность труда,
экология и др.
Освободившись от
государственного контроля, предприятия
попадают под не менее жёсткий контроль
рынка. Это означает, что свобода выбора
предприятия по «метрологическому
поведению» является относительной, все
равно необходимо соблюдать метрологические
правила.
В развитых странах
устанавливает и контролирует исполнение
этих правил негосударственная организация,
именуемая «национальной калибровочной
службой». Эта служба берёт на себя
функции регулирования и разрешения
вопросов, связанных со средствами
измерений, не подпадающими под контроль
государственных метрологических служб.
Желание иметь
конкурентоспособную продукцию побуждает
предприятия иметь измерительные
средства, дающие достоверные результаты.
Внедрение системы
сертификации продукции дополнительно
стимулирует поддержание измерительных
средств на соответствующем уровне. Это
согласуется с требованиями систем
качества, регламентируемыми стандартами
ИСО серии 9000.
Построение
Российской системы калибровки (РСК)
основывается на следующих принципах:
-
добровольность
вступления; -
обязательность
получения размеров единиц от
государственных эталонов; -
профессионализм
и компетентность персонала; -
самоокупаемость
и самофинансирование.
Основное звено
РСК –
калибровочная
лаборатория. Она представляет собой
самостоятельное предприятие или
подразделение в составе метрологической
службы предприятия, которое может
осуществлять калибровку средств
измерений для собственных нужд или для
сторонних организаций. Если калибровка
проводится для сторонних организаций,
то калибровочная лаборатория должна
быть аккредитована органом РСК.
Аккредитацию осуществляют государственные
научные метрологические центры или
органы Государственной метрологической
службы в соответствии со своей компетенцией
и требованиями, установленными в ГОСТе
51000.2-95 «Общие требования к аккредитующему
органу».
Порядок аккредитации
метрологической службы утвержден
постановлением Госстандарта РФ от 28
декабря 1995 г. № 95 «Порядок аккредитации
метрологических служб юридических лиц
на право проведения калибровочных
работ».
Методы поверки
(калибровки) средств измерения
Допускается
применение четырех методов
поверки
(калибровки) средств измерений:
-
непосредственное
сличение с эталоном; -
сличение с помощью
компаратора; -
прямые измерения
величины; -
косвенные измерения
величины.
Метод
непосредственного сличения
поверяемого (калибруемого) средства
измерения с эталоном соответствующего
разряда широко применяется для различных
средств измерений в таких областях, как
электрические и магнитные измерения,
для определения напряжения, частоты и
силы тока. В основе метода лежит проведение
одновременных измерений одной и той же
физической величины поверяемым
(калибруемым) и эталонным приборами.
При этом определяют погрешность как
разницу показаний поверяемого и
эталонного средств измерений, принимая
показания эталона за действительное
значение величины. Достоинства этого
метода в его простоте, наглядности,
возможности применения автоматической
поверки (калибровки), отсутствии
потребности в сложном оборудовании.
Метод сличения
с помощью компаратора
основан на использовании прибора
сравнения, с помощью которого сличаются
поверяемое (калибруемое) и эталонное
средства измерения. Потребность в
компараторе возникает при невозможности
сравнения показаний приборов, измеряющих
одну и ту же величину, например, двух
вольтметров, один из которых пригоден
для постоянного тока, а другой –
переменного.
В подобных ситуациях в схему поверки
(калибровки) вводится промежуточное
звено –
компаратор.
Для приведенного примера потребуется
потенциометр, который и будет компаратором.
На практике компаратором может служить
любое средство измерения, если оно
одинаково реагирует на сигналы как
поверяемого (калибруемого), так и
эталонного измерительного прибора.
Достоинством данного метода специалисты
считают последовательное во времени
сравнение двух величин.
Метод прямых
измерений
применяется, когда имеется возможность
сличить испытуемый прибор с эталонным
в определенных пределах измерений. В
целом этот метод аналогичен методу
непосредственного сличения, но методом
прямых измерений производится сличение
на всех числовых отметках каждого
диапазона (и поддиапазонов, если они
имеются в приборе). Метод прямых измерений
применяют, например, для поверки или
калибровки вольтметров постоянного
электрического тока.
Метод косвенных
измерений
используется, когда действительные
значения измеряемых величин невозможно
определить прямыми измерениями либо
когда косвенные измерения оказываются
более точными, чем прямые. Этим методом
определяют вначале не искомую
характеристику, а другие, связанные с
ней определенной зависимостью. Искомая
характеристика определяется расчетным
путем. Например, при поверке (калибровке)
вольтметра постоянного тока эталонным
амперметром устанавливают силу тока,
одновременно измеряя сопротивление.
Расчетное значение напряжения сравнивают
с показателями калибруемого (поверяемого)
вольтметра. Метод косвенных измерений
обычно применяют в установках
автоматизированной поверки (калибровки).
ГОССТАНДАРТ РОССИИ
НПО «ВНИИМ им. Д.И. Менделеева»
РЕКОМЕНДАЦИЯ
Государственная система обеспечения единства измерений
Погрешности измерений. Обозначения
МИ 2246-93
Группа Т80
Введены в действия с 01.07.93
Рекомендация распространяется на нормативно-техническую документацию (далее — НТД) и устанавливает обозначения погрешностей измерений физических величин.
1.1 Погрешность измерения — отклонение результата измерения от действительного значения измеряемой величины — может состоять из инструментальной погрешности, погрешности метода, погрешности оператора и др. погрешностей.
Погрешность измерения и ее составляющие представлены на схеме в приложении 1.
1.2 Погрешность измерения при воспроизведении единицы физической величины называют погрешностью воспроизведения единицы, а при передаче размера единицы физической величины называют погрешностью передачи размера единицы величины или погрешностью поверки (погрешностью аттестации).
1.3 Погрешности измерений подразделяют:
в зависимости от характера проявления на систематические, случайные;
в зависимости от характера их изменения в диапазоне измеряемой величины на аддитивные и мультипликативные;
по форме представления на абсолютные и относительные.
1.4 Погрешность измерения может быть выражена в виде:
доверительного интервала;
пределов погрешности;
комплекса характеристик распределения погрешностей (среднее квадратическое отклонение, размах, среднее арифметическое и др. характеристики).
Примечание: задаваемые или допускаемые характеристики погрешностей измерений могут быть выражены в соответствии с требованиями, установленными в МИ 1317-86, в форме
предела допускаемых значений характеристики;
нижнего и верхнего пределов допускаемых значений характеристики;
1.5 Наибольший вклад в погрешность измерений, как правило, вносит инструментальная погрешность, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений (далее — СИ).
Инструментальная погрешность и ее составляющие приведены в приложении 2.
2. Обозначения погрешностей
2.1 Для обозначения какой-либо погрешности используют букву греческого алфавита «дельта» — Δ (прописная), δ (строчная).
Прописной буквой Δ обозначают абсолютную погрешность измерения и строчной буквой δ — относительную погрешность измерения.
2.2 Неисключенную систематическую погрешность измерения рекомендуется обозначать буквой греческого алфавита «тэта» — θ.
2.3 Среднее квадратическое отклонение и размах — характеристики случайной погрешности — рекомендуется обозначать буквами латинского алфавита S и R, соответственно.
2.4 Поправку, которую вводят в неисправленный результат измерения с целью исключения одной или нескольких систематических погрешностей, обозначают символом (перевернутой буквой греческого алфавита «дельта»).
2.5 Метрологические характеристики СИ — нестабильность и вариацию — рекомендуется обозначать буквой греческого (ню) и латинского V алфавитов соответственно.
2.6 Для наглядности вышеизложенное сведено в табл. 1.
3.1 При необходимости конкретизации погрешности измерения (указания ее составляющей, формы представления или внесения других уточняющих данных) рекомендуется символ погрешности сопровождать индексом (индексами).
Если текст НТД не вызывает затруднений при прочтении обозначений погрешностей измерений, индексация необязательна.
3.2 В качестве индексов используют первую букву, несколько букв того слова, которое определяет или источник погрешности, или форму представления ее, или другие особенности погрешности.
3.3 Для индексации рекомендуется применять буквы русского, латинского и греческого алфавитов. (Например, Δε — суммарная погрешность результата измерения). Индексы пишутся как прописными, так и строчными буквами.
3.4 При необходимости указания физической величины, погрешность которой оценивается, в качестве индекса рекомендуется использовать символ этой физической величины. (Например, ΔL — абсолютная погрешность измерений длины, δM — относительная погрешность измерения массы и т.д.).
Обозначения (символы) наиболее распространенных физических величин представлены в приложении 3.
Примечание: если в тексте измеряемую величину обозначают символом х, у и т д., то и погрешность измерения этих величин обозначают соответственно Δх или δх, Δу или δу и т.д.
3.5 Дополнительную погрешность средств измерений, возникающую вследствие изменения показаний последних из-за воздействия влияющих величин, обозначают либо Δдоп — (дополнительная абсолютная погрешность СИ), либо δдоп — (дополнительная относительная погрешность СИ).
Дополнительную погрешность результата измерения, возникающую вследствие воздействия влияющих величин на измеряемую величину, обозначают либо ΔВВ, либо δВВ.
3.6 В приложении 4 дан перечень допускаемых сокращений слов, применяемых в метрологической практике для указания источника погрешности (составляющих погрешности измерений).
3.7 Для индексации символов при обозначении погрешности средств измерений рекомендуется использовать аббревиатуру, уточняющую вид средства измерений. (Например, ΔСИ — абсолютная погрешность средства измерений, δИИС — относительная погрешность измерительной информационной системы и т.д.).
В приложении 5 приведена аббревиатура для обозначения некоторых средств измерений.
4.1 При необходимости указания нескольких индексов у одного символа сначала указывается индекс, характеризующий источник погрешности (составляющую погрешности), а потом — индекс, характеризующий форму ее представления, (например, предел погрешности метода, заданной в абсолютной форме, должен быть выражен как Δм,пр).
4.2 Если наличие нескольких индексов у одного символа приводит к затруднению их раздельного прочтения, их разделяют запятой. (Например, Δо,пр — предел допускаемой основной погрешности средства измерений в абсолютной форме, δдин,макс максимальное значение динамической погрешности средства измерений в относительной форме).
4.3 Допустимо применять символы погрешностей, опуская некоторые индексы, если это не приводит к затруднению понимания текста. (Например, если речь идет о конкретном средстве измерений, то индекс в виде аббревиатуры, конкретизирующий средство измерений, можно опускать.
Если в НТД речь идет об измерении конкретной физической величины и ее погрешности измерения, то индекс, конкретизирующий измеряемую величину, можно опустить.
Наличие индексов «о» (основная), «доп» (дополнительная), «прв» (приведенная) снимает необходимость дополнительного указания индекса «СИ».
4.4 Для пояснения того, характеристику какой погрешности представляет среднее квадратическое отклонение «S», рекомендуется сразу после символа «S» указывать в круглых скобках эту погрешность. (Например, S (Δдоп) — среднее квадратическое отклонение дополнительной погрешности средства измерений).
Среднее квадратическое отклонение единичного результата измерений рекомендуется обозначать только символом «S».
При обозначении среднего квадратического отклонения результата многократных измерений (среднего арифметического) сразу после символа «S» в круглых скобках указывают символ результата измерений. (Например, S(
) — среднее квадратическое отклонение среднего арифметического группы экспериментальных данных).
4.5 При указании нестабильности «v» метрологической характеристики последнюю указывают в круглых скобках после символа нестабильности. (Например, v(Δсист) — нестабильность систематической погрешности).
Время, в течение которого фиксируется нестабильность, чаще всего указывается в тексте документа или в техническом тексте.
При необходимости указания времени нестабильности в обозначении, оно указывается символом «τ» в качестве индекса к символу нестабильности v. (Например, vτ (Δсист) — нестабильность систематической погрешности за время τ).
4.6 Доверительную погрешность рекомендуется обозначать соответствующим символом погрешности с указанием вероятности в круглых скобках после символа этой погрешности. (Например, Δ(0.95) — абсолютная доверительная погрешность измерения при вероятности Р = 0.95).
4.7 Структура обозначений наиболее часто употребляемых погрешностей приведена в виде примера ниже.
Приложение 1
ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ И ЕЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ*
* Примечание: на рисунке приведены в качестве примеров возможные составляющие погрешности измерения для лучшего понимания принципов индексации.
Приложение 2
ИНСТРУМЕНТАЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ *
* Примечание: на рисунке приведены в качестве примеров возможные составляющие инструментальной погрешности для лучшего понимания индексации.
Приложение 3
Обозначения (символы) наиболее распространенных
физических величин
Приложение 4
Перечень допускаемых сокращений слов,
используемых в качестве индекса
для метрологической практики
Примечание: предлагаемые сокращения не всегда совпадают с правилами сокращений в русском языке, но авторы ориентировались на краткость сокращений с целью удобства индексации.
Приложение 5
Аббревиатура для обозначений некоторых средств измерений
