Абсолютная ошибка линейки - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

Вернемся к рассмотренным выше примерам
измерения ширины бруска и толщины листа
бумаги.

Погрешность
мм измеряется в тех же единицах, что и
сама величина, т.е. ширина бруска, равнаямм. Такая погрешность называетсяабсолютнойи дает количественную
оценку. Чтобы получить качественную
оценку нашему измерению, вводится
понятиеотносительной погрешности

Это безразмерная величина, но можно ее
выразить и в процентах, умножив
предварительно на 100%

Относительная погрешность говорит о
качестве эксперимента, т.е правильно
ли выбраны приборы (в смысле цены деления)
для измерения. Очень точным (или
прецезионным) результатом можно считать
тот, относительная погрешность которого
меньше 1–2 %. Таким образом, ширина бруска
была измерена очень точно с помощью
миллиметровой линейки. В большинстве
случаев при выполнении лабораторных
работ по физике относительная погрешность
экспериментов обычно не превышает 30%.

Рассмотрим пример правильного выбора
прибора для измерения
толщины листа бумаги (см. рис.10А). Если
пытаться измеритьс помощью миллиметровой линейки и
угадать, чтомм, то при абсолютной погрешности линейкимм
относительная погрешность будет равна

Это очень некачественный результат!
Тогда попробуем измерить штангенциркулем
с ценой деления
мм. Тогдамм и.
Тоже плохо. Остается выбрать микрометр
с ценой делениямм, тогдамм
и.
Вот это то, что нам нужно!

Но не следует увлекаться в погоне за
точностью. Ведь более точные приборы
стоят дороже линейки в десятки, а иногда
и в сотни раз. Сначала решите вопрос о
допустимой погрешности, которая от вас
требуется в конкретном случае, а потом
уже идите в магазин и покупайте тот
прибор, который сможет обеспечить нужную
точность.

Надеюсь, примеров, приведенных выше,
уже достаточно, чтобы новорожденный
Экспериментатор сам смог разобраться
в выборе нужного прибора для измерения
размеров разных тел и потом смог бы
записать результаты своих измерений в
лабораторный журнал.

2.2. Приборы, измеряющие временные интервалы.

Если при измерении размеров тела мы
визуально (то есть на глаз) находим число
одинаковых интервалов на шкале, которые
умещаются на этом размере, то как быть
со временем? Мы же его не видим. Рассмотрим
пример падения кирпича с крыши
девятиэтажного дома (юный Экспериментатор
решил проверить прочность асфальтового
покрытия под окнами своей квартиры).
Наблюдая за кирпичем (по понятным
причинам издалека), мы с напарником
можем с уверенностью говорить о двух
временных моментах – о начале и конце
падения. Я даже могу отметить эти моменты,
выкрикнув два раза слово «Оп!»,
чтобы мой друг смог участвовать в
процессе измерения времени падения
кирпича на слух, отвернувшись в сторону.
Но с какими интервалами, аналогичными
интервалам на шкале линейки, можно
сравнить саму длительность полета?
Такие интервалы придуманы очень давно.
Одним из древних приборов, использующих
временные интервалы, являются песочные
часы. Да и сейчас в парке аттракционов
у оператора карусели в кабинке можно
их увидеть. Песок из одного сосуда через
отверстие пересыпается в другой сосуд
за три минуты. Потом их переворачивают
и трехминутный процесс пересыпания
повторяется, а катание на карусели
растягивается уже на 6 минут. Такие часы
не подойдут для нашего эксперимента –
слишком долго пересыпается песок. Нам
нужны интервалы поменьше. И вот что
удалось найти: часы с секундной стрелкой,
секундомеры механические и электронные
(см. рис.12).

Какой же прибор нам выбрать? Сначала
теоретически грубо оценим время падения,
предполагая падение кирпича равноускоренным
с ускорением 9,8 м/с². А какова же
высота девятиэтажного дома? Для оценки
достаточно считать высоту каждого этажа
приблизительно 3 м (тогда полная высота
будет 27 м). Используя формулу равноускоренного
движения

выразим время полета с

Этот рассчет показывает, что время
падения длится всего пару секунд и
воспользовавшись часами (рис.12А) с
секундной стрелкой и, соответственно,
с погрешностью 0,5 с, мы получили бы
слишком грубый результат. Секундомер
(рис.12Б) имеет 5 делений на каждый секундный
интервал, что соответствует цене деления
с и погрешность этого прибора будет
равнас. Такой секундомер нам подойдет, но где
его взять? Он остался в аудитории где
проводятся лабораторные работы. А прибор
(рис.12В), что еще хуже, работает от
электричества (хотя нам бы он подошел
еще лучше, так как имеет цену деления=0,01
с). И тут зазвонил мобильный телефон в
моем кармане и я вспомнил, что в нем есть
электронный секундомер (рис.12Д). Оказалось,
что цена его деления составляет 0,01 с (а
у моего друга более дорогой телефон, а
цена деления его секундомера (рис.12Г)
всего 0,1 с ). Конечно, строго говоря, у
электронного секундомера нет делений,
но мы так будем называть единицу
последнего разряда числа, изображенного
на экране.

Источник

Загрузить PDF

Абсолютная ошибка – это разность между измеренным значением и фактическим значением.^[1] Эта ошибка характеризует точность измерений. Если вам известны фактическое и измеренное значения, можно с легкостью вычислить абсолютную ошибку. Но иногда фактическое значение не дано, поэтому в качестве абсолютной ошибки пользуются максимально возможной ошибкой.^[2] Если даны фактическое значение и относительная ошибка, можно вычислить абсолютную ошибку.

1

Запишите формулу для вычисления абсолютной ошибки. Формула: $Delta x=x_{{0}}-x$ , где – абсолютная ошибка (разность между измеренным и фактическим значениями), $x_{{0}}$ – измеренное значение, – фактическое значение.^[3]
2
Подставьте в формулу фактическое значение. Фактическое значение должно быть дано; в противном случае используйте принятое опорное значение. Фактическое значение подставьте вместо .
- Например, нужно измерить длину футбольного поля. Фактическая длина (принятая опорная длина) футбольного поля равна 105 м (именно такое значение рекомендуется FIFA). Таким образом, фактическое значение равно 105 м: $Delta x=x_{{0}}-105$ .
3
Подставьте в формулу измеренное значение. Оно будет дано; в противном случае измерьте величину (длину или ширину и так далее). Измеренное значение подставьте вместо $x_{0}$ .
- Например, вы измерили длину футбольного поля и получили значение 104 м. Таким образом, измеренное значение равно 104 м: .
4
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[4] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- В нашем примере: , то есть абсолютная ошибка измерения равна 1 м.
Реклама

1

Запишите формулу для вычисления относительной ошибки. Формула: $delta x={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , где – относительная ошибка (отношение абсолютной ошибки к фактическому значению), $x_{{0}}$ – измеренное значение, – фактическое значение.^[5]
2
Подставьте в формулу относительную ошибку. Скорее всего, она будет дана в виде десятичной дроби. Относительную ошибку подставьте вместо .
- Например, если относительная ошибка равна 0,02, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Подставьте в формулу фактическое значение. Оно будет дано. Фактическое значение подставьте вместо .
- Например, если фактическое значение равно 105 м, формула запишется так: $0,02={frac {x_{{0}}-105}{105}}$ .
4

Умножьте обе стороны уравнения на фактическое значение. Так вы избавитесь от дроби.
5

Прибавьте фактическое значение к каждой стороне уравнения. Так вы найдете $x_{{0}}$ , то есть измеренное значение.
6
Вычтите фактическое значение из измеренного значения. Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[6] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренное значение равно 107,1 м, а фактическое значение равно 105 м, вычисления запишутся так: . Таким образом, абсолютная ошибка равна 2,1 м.
Реклама

1
Определите единицу измерения. То есть выясните, было ли значение измерено с точностью до сантиметра, метра и так далее. Возможно, эта информация будет дана (например, «длина поля измерена с точностью до метра»). Чтобы определить единицу измерения, посмотрите на то, как округлено данное значение.^[7]
- Например, если измеренная длина поля равна 106 м, значение было округлено до метров. Таким образом, единица измерения равна 1 м.
2
3
Используйте максимально возможную ошибку в качестве абсолютной ошибки.^[9] Так как абсолютная ошибка всегда положительна, возьмите абсолютное значение этой разницы, то есть не учитывайте знак «минус».^[10] Так вы вычислите абсолютную ошибку.
- Например, если измеренная длина поля равна м, то есть абсолютная ошибка равна 0,5 м.
Реклама

Советы

Если фактическое значение не указано, найдите принятое опорное или теоретическое значение.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 549 раз.

Была ли эта статья полезной?

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2108.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2108.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Светлана Лобанова-Асямолова

10/10
Валерий Соломин

10/10
Анастасия Юшкова

10/10
Ксюша Пономарева

7/10
Паша Кривов

10/10
Евгений Холопик

9/10
Guzel Murtazina

10/10
Максим Аполонов

10/10
Olga Bimbirene

9/10
Света Колодий

10/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2108.

А какая ваша оценка?

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения
Систематическая и случайная погрешности
Определение абсолютной погрешности
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Примеры

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Теоретическая погрешность

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

$$ Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$

Например:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

$m_i,г$

98,4

99,2

98,1

100,3

98,5

$Delta m_i, г$

1,6

0,8

1,9

0,3

1,5

Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| le h $

Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.

Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений

Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = overline{1, N}$.

Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:

$$ a = x_{cp} = frac{x_1+x_2+ cdots +x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N x_i $$

Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:

$$ Delta x_{cp} = frac{Delta x_1+ Delta x_2+ cdots + Delta x_N}{N} = frac{1}{N} sum_{i = 1}^N Delta x_i $$

Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.

Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:

$$ h = max {d; Delta x_{cp} } $$

Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:

$$ a-h le x le a+h или x = a pm h $$

Значащие цифры и правила округления результатов измерений

Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Например:

0,00501 — три значащие цифры 5,0 и 1.

5,01 — три значащие цифры.

5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.

Внимание!

Правила округления.

Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”).

Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.

Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так:

$$ a approx 1,7; h approx ↑0,2; 1,5 le x le 1,9 или x = 1,7 pm 0,2 $$

Примеры

Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃. Какова абсолютная погрешность этих измерений?

По условию $11,55 le t le 11,63$. Получаем систему уравнений:

$$ {left{ begin{array}{c} a-h = 11,55 \ a+h = 11,63 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 11,59 \ h = 0,04end{array} right.} $$

$$ t = 11,59 pm 0,04 ℃ $$

Ответ: 0,04 ℃

Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.

$x_i$

15,3

16,4

15,3

15,8

15,7

16,2

15,9

Находим среднее арифметическое:

$$ a = x_{ср} = frac{15,3+16,4+ cdots +15,9}{7} = 15,8 $$

Находим абсолютные погрешности:

$$ Delta x_i = |x_i-a| $$

$ Delta x_i$

0,5

0,6

0,5

0,1

0,4

0,1

Находим среднее арифметическое:

$$ Delta x_{ср} = frac{0,5+0,6+ cdots + 0,1}{7} approx 0,31 gt d $$

Выбираем большую величину:

$$ h = max {d; Delta x_{ср} } = max⁡ {0,1; 0,31} = 0,31 $$

Округляем по правилам округления по избытку: $h approx ↑0,4$.

Получаем: x = 15, $8 pm 0,4$

Границы: $15,4 le x le 16,2$

Ответ: $15,4 le x le 16,2$

Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 pm 0,001$. Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x.

Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} a-0,3 le x le a+0,3 \ 5,630 le x le 5,632 end{array} right.} Rightarrow a-0,3 le 5,630 le x le 5,632 le a+0,3 Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} a-0,3 le 5,630 \ 5,632 le a+0,3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a le 5,930 \ 5,332 le a end{array} right.} Rightarrow 5,332 le a le 5,930 $$

Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:

$$ 5,3 le a le 5,9 $$

Ответ: $ 5,3 le a le 5,9 $

Абсолютная и относительная погрешности (ошибки).

Пусть некоторая
величина x
измерена n
раз. В результате получен ряд значений
этой величины: x₁,
x₂,
x₃,
…, x_n

Величиной, наиболее
близкой к действительному значению,
является среднее арифметическое этих
результатов:

Отсюда следует,
что каждое физическое измерение должно
быть повторено несколько раз.

Разность между
средним значением
измеряемой
величины и значением отдельного измерения
называется абсолютной
погрешностью отдельного измерения:

(13)

Абсолютная
погрешность может быть как положительной,
так и отрицательной и измеряется в тех
же единицах, что и измеряемая величина.

Средняя абсолютная
ошибка результата — это среднее
арифметическое значений абсолютных
погрешностей отдельных измерений,
взятых по абсолютной величине (модулю):

(14)

Отношения

называются относительными погрешностями
(ошибками) отдельных измерений.

Отношение средней
абсолютной погрешности результата

к среднему арифметическому значению

измеряемой величины называют относительной
ошибкой результата и выражают в процентах:

Относительная
ошибка характеризует точность измерения.

Законы распределения случайных величин.

Результат измерения
физической величины зависит от многих
факторов, влияние которых заранее учесть
невозможно. Поэтому значения, полученные
в результате прямых измерений какого
— либо параметра, являются случайными,
обычно не совпадающие между собой.
Следовательно, случайные
величины —
это такие величины, которые в зависимости
от обстоятельств могут принимать те
или иные значения. Если случайная
величина принимает только определенные
числовые значения, то она называется
дискретной.

Например,
количество заболеваний в данном регионе
за год, оценка, полученная студентом на
экзамене, энергия электрона в атоме и
т.д.

Непрерывная
случайная величина принимает любые
значения в данном интервале.

Например: температура
тела человека, мгновенные скорости
теплового движения молекул, содержание
кислорода в воздухе и т.д.

Под событием
понимается всякий результат или исход
испытания. В теории вероятностей
рассматриваются события, которые при
выполнение некоторых условий могут
произойти, а могут не произойти. Такие
события называются
случайными.
Например, событие, состоящее в появлении
цифры 1 при выполнении условия — бросания
игральной кости, может произойти, а
может не произойти.

Если событие
неизбежно происходит в результате
каждого испытания, то оно называется
достоверным.
Событие называется невозможным,
если оно вообще не происходит ни при
каких условиях.

Два события,
одновременное появление которых
невозможно, называются несовместными.

Пусть случайное
событие А в серии из n
независимых испытаний произошло m
раз, тогда отношение:

называется
относительной частотой события А. Для
каждой относительной частоты выполняется
неравенство:

При небольшом
числе опытов относительная частота
событий в значительной мере имеет
случайный характер и может заметно
изменяться от одной группы опытов к
другой. Однако при увеличении числа
опытов частота событий все более теряет
свой случайный характер и приближается
к некоторому постоянному положительному
числу, которое является количественной
мерой возможности реализации случайного
события А. Предел, к которому стремится
относительная частота событий при
неограниченном увеличении числа
испытаний, называется статистической
вероятностью события:

Например, при
многократном бросании монеты частота
выпадения герба будет лишь незначительно
отличаться от ½. Для достоверного события
вероятность Р(А) равна единице. Если
Р=0, то событие невозможно.

Математическим
ожиданием
дискретной случайной величины называется
сумма произведений всех ее возможных
значений х_i
на вероятность этих значений р_i:

Статистическим
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значений
:

где m_i
— число дискретных случайных величин,
имеющих значение х_i.

Для непрерывной
случайной величины математическим
ожиданием служит интеграл:

где р(х) — плотность
вероятности.

Отдельные значения
случайной величины группируются около
математического ожидания. Отклонение
случайной величины от ее математического
ожидания (среднего значения) характеризуется
дисперсией,
которая для дискретной случайной
величины определяется формулой:

(15)

(16)

Дисперсия имеет
размерность случайной величины. Для
того, чтобы оценивать рассеяние
(отклонение) случайной величины в
единицах той же размерности, введено
понятие среднего
квадратичного отклонения
σ(Х), которое
равно корню квадратному из дисперсии:

(17)

Вместо среднего
квадратичного отклонения иногда
используется термин «стандартное
отклонение».

Всякое отношение,
устанавливающее связь между всеми
возможными значениями случайной величины
и соответствующими им вероятностями,
называется законом
распределения случайной величины.
Формы задания закона распределения
могут быть разными:

а) ряд распределения
(для дискретных величин);

б) функция
распределения;

в) кривая распределения
(для непрерывных величин).

Существует
относительно много законов распределения
случайных величин.

Нормальный
закон распределения случайных
величин (закон
Гаусса).
Случайная величина

распределена по
нормальному закону, если ее плотность
вероятности f(x)
определяется формулой:

(18),

где <x>
— математическое ожидание (среднее
значение) случайной величины <x>
= M
(X);

—
среднее квадратичное отклонение;

—
основание натурального логарифма
(неперово число);

f
(x)
– плотность вероятности (функция
распределения вероятностей).

Многие случайные
величины (в том числе все случайные
погрешности) подчиняются нормальному
закону распределения (закону Гаусса).
Для этого распределения наиболее
вероятным значением
измеряемой
величины
является
её среднее
арифметическое
значение.

График нормального
закона распределения изображен на
рисунке (колоколообразная кривая).

Кривая симметрична
относительно прямой х=<x>=α,
следовательно, отклонения случайной
величины вправо и влево от <x>=α
равновероятны. При х=<x>±
кривая асимптотически приближается к
оси абсцисс. Если х=<x>,
то функция распределения вероятностей
f(x)
максимальна и принимает вид:

(19)

Таким образом,
максимальное значение функции f_max(x)
зависит от величины среднего квадратичного
отклонения. На рисунке изображены 3
кривые распределения. Для кривых 1 и 2
<x>
= α = 0 соответствующие значения среднего
квадратичного отклонения различны, при
этом ₂>₁.
(При увеличении 
кривая распределения становится более
пологой, а при уменьшении 
– вытягивается вверх). Для кривой 3 <x>
= α ≠ 0 и ₃
= ₂.

Закон
распределения
молекул в газах по скоростям называется
распределением
Максвелла.
Функция плотности вероятности попадания
скоростей молекул в определенный
интервал

теоретически была определена в 1860 году
английским физиком Максвеллом

. На рисунке
распределение Максвелла представлено
графически. Распределение движется
вправо или влево в зависимости от
температуры газа (на рисунке Т₁
< Т₂).
Закон распределения Максвелла определяется
формулой:

(20),

где m_о
– масса молекулы, k
– постоянная Больцмана, Т – абсолютная
температура газа,
—
скорость молекулы.

Распределение
концентрации молекул газа в атмосфере
Земли (т.е.
в силовом поле) в зависимости от высоты
было дано австрийским физиком Больцманом
и называется
распределением
Больцмана:

(21)

Где n(h)
– концентрация молекул газа на высоте
h,
n₀
– концентрация у поверхности Земли, g
– ускорение свободного падения, m
– масса молекулы.

Распределение
Больцмана.

Совокупность всех
значений случайной величины называется
простым
статистическим рядом.
Так как простой статистический ряд
оказывается большим, то его преобразуют
в вариационный
статистический
ряд или интервальный
статистический ряд. По интервальному

статистическому ряду для оценки вида
функции распределения вероятностей по
экспериментальным данным строят
гистограмму
– столбчатую
диаграмму. (Гистограмма – от греческих
слов “histos”–
столб и “gramma”–
запись).

Гистограмма
распределения Больцмана.

Для построения
гистограммы интервал, содержащий
полученные значения случайной величины
делят на несколько интервалов x_i
одинаковой ширины. Для каждого интервала
подсчитывают число m_i
значений случайной величины, попавших
в этот интервал. После этого вычисляют
плотность частоты случайной величины

для каждого интервала x_i
и среднее значение случайной величины
<x_i
> в каждом интервале.

Затем по оси абсцисс
откладывают интервалы x_i,
являющиеся основаниями прямоугольников,
высота которых равна
(или
высотой

– плотностью относительной частоты
).

Расчетами показано,
что вероятность попадания нормально
распределенной случайной величины в
интервале значений от <x>–
до <x>+
в среднем равна 68%. В границах вдвое
более широких (<x>–2;
<x>+2)
размещается в среднем 95% всех значений
измерений, а в интервале (<x>–3;<x>+3)
– уже 99,7%. Таким образом, вероятность
того, что отклонение значений нормально
распределенной случайной величины
превысит 3
(
– среднее квадратичное отклонение)
чрезвычайно мала (~0,003). Такое событие
можно считать практически невозможным.
Поэтому границы <x>–3
и <x>+3
принимаются за границы практически
возможных значений нормально распределенной
случайной величины («правило трех
сигм»).

Если число измерений
(объем выборки) невелико (n<30),
дисперсия вычисляется по формуле:

(22)

Уточненное среднее
квадратичное отклонение отдельного
измерения вычисляется по формуле:

(23)

Напомним, что для
эмпирического распределения по выборке
аналогом математического ожидания
является среднее арифметическое значение
<x>
измеряемой величины.

Чтобы дать
представление о точности и надежности
оценки измеряемой величины, используют
понятия доверительного интервала и
доверительной вероятности.

Доверительным
интервалом
называется интервал (<x>–x,
<x>+x),
в который по определению попадает с
заданной вероятностью действительное
(истинное) значение измеряемой величины.
Доверительный интервал характеризует
точность полученного результата: чем
уже доверительный интервал, тем меньше
погрешность.

Доверительной
вероятностью
(надежностью)

результата серии измерений называется
вероятность того, что истинное значение
измеряемой величины попадает в данный
доверительный интервал (<x>±x).
Чем больше величина доверительного
интервала, т.е. чем больше x,
тем с большей надежностью величина <x>
попадает в этот интервал. Надежность 
выбирается самим исследователем
самостоятельно, например, =0,95;
0,98. В медицинских и биологических
исследованиях, как правило, доверительную
вероятность (надежность) принимают
равной 0,95.

Если величина х
подчиняется нормальному закону
распределения Гаусса, а <x>
и <>
оцениваются по выборке (числу измерений)
и если объем выборки невелик (n<30),
то интервал (<x>
– t__,_n<>,
<x>
+ t__,_n<>)
будет доверительным интервалом для
известного параметра х с доверительной
вероятностью .

Коэффициент t__,_n
называется коэффициентом
Стьюдента
(этот коэффициент был предложен в 1908 г.
английским математиком и химиком В.С.
Госсетом, публиковавшим свои работы
под псевдонимом «Стьюдент» – студент).

Значении коэффициента
Стьюдента t__,_n
зависит от доверительной вероятности

и числа измерений n
(объема выборки). Некоторые значения
коэффициента Стьюдента приведены в
таблице 1.

Таблица 1

n	
0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
2	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	63,7
3	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9
4	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8
5	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6
6	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	4,0
7	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7
8	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5
9	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4
10	0,88	1,1	1,4	1,9	2,3	2,8	3,3

В таблице 1 в верхней
строке заданы значения доверительной
вероятности 
от 0,6 до 0,99, в левом столбце – значение
n.
Коэффициент Стьюдента следует искать
на пересечении соответствующих строки
и столбца.

Окончательный
результат измерений записывается в
виде:

(25)

Где

– полуширина доверительного интервала.

Результат серии
измерений оценивается относительной
погрешностью:

(26)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Download Article

Absolute error is the difference between the measured value and the actual value.^[1] It is one way to consider error when measuring the accuracy of values. If you know the actual and measured values, calculating the absolute error is a simple matter of subtraction. Sometimes, however, you may be missing the actual value, in which case you should use the maximum possible error as the absolute error.^[2] If you know the actual value and the relative error, you can work backwards to find the absolute error.

1

Set up the formula for calculating the absolute error. The formula is $Delta x=x_{{0}}-x$ , where equals the absolute error (the difference, or change, in the measured and actual value), $x_{{0}}$ equals the measured value, and equals the actual value.^[3]
2
Plug the actual value into the formula. The actual value should be given to you. If not, use a standardly accepted value. Substitute this value for .^[4]
- For example, you might be measuring the length of a football field. You know that the actual, or accepted length of a professional American football field is 360 feet (including both end zones). So, you would use 360 as the actual value: $Delta x=x_{{0}}-360$ .
Advertisement
3
Find the measured value. This will be given to you, or you should make the measurement yourself. Substitute this value for $x_{{0}}$ .
- For example, if you measure the football field and find that it is 357 feet long, you would use 357 as the measured value:.
4
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.^[5]
- For example, since , the absolute error of your measurement is 3 feet.

1

Set up the formula for relative error. The formula is $delta x={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , where equals the relative error (the ratio of the absolute error to the actual value), $x_{{0}}$ equals the measured value, and equals the actual value.^[6]
2
Plug in the value for the relative error. This will likely be a decimal. Make sure you substitute it for .
- For example, if you know that the relative error is .025, your formula will look like this: $.025={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Plug in the value for the actual value. This information should be given to you. Make sure you substitute this value for .
- For example, if you know that the actual value is 360 ft, your formula will look like this: $.025={frac {x_{{0}}-360}{360}}$ .
4

Multiply each side of the equation by the actual value. This will cancel out the fraction.
5

Add the actual value to each side of the equation. This will give you the value of $x_{{0}}$ , giving you the measured value.
6
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.^[7]
- For example, if the measured value is 369 ft, and the actual value is 360 feet, you would subtract . So, the absolute error is 9 feet.

1
Determine the measuring unit. This is the “to the nearest” value. This might be explicitly stated (for example, “The building was measured to the nearest foot.”), but it doesn’t have to be. To determine the measuring unit, just look at what place value the measurement is rounded to.
- For example, if the measured length of a building is stated as 357 feet, you know that the building was measured to the nearest foot. So, the measuring unit is 1 foot.
2
3
Use the maximum possible error as the absolute error.^[9] Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.
- For example, if you find the measurement of a building to be , the absolute error is .5 ft.

Add New Question

Question

How do I find absolute error of any equation?

An equation does not contain an «absolute error.» Re-read the introduction above.
Question

How do I find the root value of a 6-digit number?
Question

What is the absolute error in 2.11?

As explained above, the concept of «absolute error» involves both a measured value and an «actual» value.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If the actual value is not given, you can look for the accepted or theoretical value.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the absolute error, use the formula, “Absolute Error = Measured Value — Actual Value.” Begin by plugging the actual value into the formula, which will either be given to you or is the standardly accepted value. Then, make a measurement and put the measured value into the formula. Finally, subtract the actual value from the measure value to calculate the absolute error. If there are any negative signs, ignore them when you record your answer. To learn how to find the absolute error if you don’t have the measured value, keep reading.

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 193,656 times.

Did this article help you?

Download Article

1

Set up the formula for calculating the absolute error. The formula is $Delta x=x_{{0}}-x$ , where equals the absolute error (the difference, or change, in the measured and actual value), $x_{{0}}$ equals the measured value, and equals the actual value.^[3]
2
Plug the actual value into the formula. The actual value should be given to you. If not, use a standardly accepted value. Substitute this value for .^[4]
- For example, you might be measuring the length of a football field. You know that the actual, or accepted length of a professional American football field is 360 feet (including both end zones). So, you would use 360 as the actual value: $Delta x=x_{{0}}-360$ .
Advertisement
3
Find the measured value. This will be given to you, or you should make the measurement yourself. Substitute this value for $x_{{0}}$ .
- For example, if you measure the football field and find that it is 357 feet long, you would use 357 as the measured value:.
4
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.^[5]
- For example, since , the absolute error of your measurement is 3 feet.

1

Set up the formula for relative error. The formula is $delta x={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ , where equals the relative error (the ratio of the absolute error to the actual value), $x_{{0}}$ equals the measured value, and equals the actual value.^[6]
2
Plug in the value for the relative error. This will likely be a decimal. Make sure you substitute it for .
- For example, if you know that the relative error is .025, your formula will look like this: $.025={frac {x_{{0}}-x}{x}}$ .
3
Plug in the value for the actual value. This information should be given to you. Make sure you substitute this value for .
- For example, if you know that the actual value is 360 ft, your formula will look like this: $.025={frac {x_{{0}}-360}{360}}$ .
4

Multiply each side of the equation by the actual value. This will cancel out the fraction.
5

Add the actual value to each side of the equation. This will give you the value of $x_{{0}}$ , giving you the measured value.
6
Subtract the actual value from the measured value. Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.^[7]
- For example, if the measured value is 369 ft, and the actual value is 360 feet, you would subtract . So, the absolute error is 9 feet.

1
Determine the measuring unit. This is the “to the nearest” value. This might be explicitly stated (for example, “The building was measured to the nearest foot.”), but it doesn’t have to be. To determine the measuring unit, just look at what place value the measurement is rounded to.
- For example, if the measured length of a building is stated as 357 feet, you know that the building was measured to the nearest foot. So, the measuring unit is 1 foot.
2
3
Use the maximum possible error as the absolute error.^[9] Since absolute error is always positive, take the absolute value of this difference, ignoring any negative signs. This will give you the absolute error.
- For example, if you find the measurement of a building to be , the absolute error is .5 ft.

Add New Question

Question

How do I find absolute error of any equation?

An equation does not contain an «absolute error.» Re-read the introduction above.
Question

How do I find the root value of a 6-digit number?
Question

What is the absolute error in 2.11?

As explained above, the concept of «absolute error» involves both a measured value and an «actual» value.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If the actual value is not given, you can look for the accepted or theoretical value.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 193,656 times.

Did this article help you?

ВИДЕО УРОК

Абсолютная погрешность.

Разность между истинным значением измеряемой величины
и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью.

Для подсчёта
абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.

Существует формула
абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а –
приближение к точному числу. Приближённое число – это число, которое
незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда
формула будет выглядеть следующим образом:

∆а = А – а.

ПРИМЕР:

В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400,
то абсолютная погрешность измерения равна:

400 – 374 = 26.

ПРИМЕР:

На предприятии 1284 рабочих и
служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная
погрешность составляет

1300 – 1284 = 16.

При округлении до 1280 абсолютная
погрешность составляет

1284 – 1280 = 4.

Редко когда можно
точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную
погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе
границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого
числа она не превосходит.

ПРИМЕР:

Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не
превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.

Записывают
абсолютную погрешность числа, используя знак
±.

ПРИМЕР:

Длина рулона обоев составляет.

30 м ± 3
см.

Границу абсолютной
погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Но абсолютная
погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том,
насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно
разобраться в таком примере.

ПРИМЕР:

Допустим, что при измерении коридора длиной в 20
м мы допустили абсолютную погрешность
всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги,
имеющий 18
см длины, мы тоже допустили абсолютную
погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать
превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что
на 20
м ошибка в 1
см вполне допустима и неизбежна, но
на 18
см такая ошибка является очень грубой.

Отсюда ясно, что для оценки качества измерения
существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от
измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см
составляет

долю
измеряемой величины, а при измерении корешка книги погрешность в 1 см составляет

долю
измеряемой величины.

Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18
см длины и допустив погрешность в 1
см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1
см была допущена при измерении коридора
длиной в 20
м, то это измерение можно считать максимально точным.

Если ошибка,
возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным
инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве
абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на
линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.

Тогда
значение измеряемой длины предмета будет значение ближайшей метки линейки.
Поэтому, если измерение выполнено аккуратно, то истинная длина предмета может
отличаться от измеренной длины не более чем на половину деления шкалы, то есть 0,5 мм.

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями 0,5 см и линейка с
делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5
см от истинной, не
должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае ∆l = 0,5 и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1 и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной погрешности не
превышает 1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает
1 км
на 650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины
b
стекла и длины l книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до 0,1,

l ≈ 100 с
точностью до 0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит 0,1. Однако 0,1 составляет
существенную часть числа 0,4 и
ничтожную часть числа 100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что b ≈ 0,4 с точностью до 0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит 0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит 25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до 25%,
а во втором – с относительной точностью до 0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в 1
см, при измерении длины отрезков 10
см и 10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для
отрезка длиной в 10 см погрешность
в 1
см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50
г. Относительная погрешность не превосходит

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность 1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность
100 г, 150 г и вообще всякое
число, большее чем 50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой а,

Правила округления.

На практике
относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление
с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.

ПРИМЕР:

Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна:

ПРИМЕР:

Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровым
делением. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого
измерения ?

РЕШЕНИЕ:

Здесь а =
17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью
до 1 мм
измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную
погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но
у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину). Относительная погрешность равна

Округляя, находим

ПРИМЕР:

Цилиндрический поршень имеет около 35
мм в диаметре. С какой точностью нужно
его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05% ?

РЕШЕНИЕ:

По условию, предельная относительная
погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная
погрешность равна

или, усиливая, 0,02
мм.

Можно воспользоваться
формулой

Подставляя в формулу

а = 35,

𝛿 = 0,0005,

имеем

Значит,

∆
= 35 × 0,0005 = 0,0175 мм.

Действия над приближёнными числами.

Сложение и вычитание приближённых чисел.

Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме
абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

ПРИМЕР:

Складываются приближённые числа

265 и 32.

РЕШЕНИЕ:

Пусть предельная погрешность первого есть 5,
а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна

5
+ 1 = 6.

Так, если истинное значение первого есть 270,
а второго 33, то приближённая сумма

265
+ 32 = 297

на 6 меньше истинной

270
+ 33 = 303.

ПРИМЕР:

Найти сумму приближённых чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Предельная погрешность каждого слагаемого

0,00005.

Предельная погрешность суммы:

0,00005
∙ 9 = 0,00045.

Значит, в последнем (четвёртом) знаке суммы возможна ошибка до 5
единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, то есть до тысячных.
Получаем 0,619,
здесь все знаки верные.

При значительном
числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому
истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной
погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего
примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может
отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.

Например, первое
слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше
истинного на одну единицу и так далее.

Расчёт показывает,
что число всех возможных случаев распределения погрешностей составляет около
одного миллиарда. Между тем лишь в двух случаях погрешность суммы может
достигнуть предельной погрешности 0,00045,
это произойдёт:

– когда истинная величина каждого слагаемого больше
приближённой величины на 0,00005;

– когда истинная величина каждого слагаемого меньше
приближённой величины на 0,00005.

Значит, случаи,
когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.

Дальнейший расчёт
показывает, что случаи, когда погрешность суммы девяти слагаемых может
превысить три единицы последнего знака, тоже очень редки. Они составляют
лишь 0,07%
из числа всех
возможных. Две единицы последнего знака погрешность может превысить 2% всех возможных случаев, а одну единицу –
примерно в 25%.
В остальных 75% случаев погрешность девяти слагаемых не
превышает одной единицы последнего знака.

ПРИМЕР:

Найти сумму точных чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Округлим их до тысячных и сложим:

0,091
+ 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067

+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.

Предельная погрешность суммы:

0,0005
∙ 9 = 0,0045.

Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003,
то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака
приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо
неверной.

Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь
предельная погрешность суммы будет:

0,005
∙ 9 = 0,045.

Между тем получим:

0,09
+ 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07

+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.

Истинная погрешность составляет только 0,0013.

Предельная абсолютная погрешность разности двух величин
равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

ПРИМЕР:

Пусть предельная погрешность приближённого
уменьшаемого 85 равна 2,
а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3.
Предельная погрешность разности

85
– 32 = 53

есть

2
+ 3 = 5.

В самом деле, истинное значение уменьшаемого и
вычитаемого могут равняться

85
+ 2 = 87 и

32
– 3 = 29.

Тогда истинная разность есть

87
– 29 = 58.

Она на 5 отличается от
приближённой разности 53.

Относительная погрешность суммы и разности.

Предельную
относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала
предельную абсолютную погрешность.

Предельная
относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и
наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют
одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность,
то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную
погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном
выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых
сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.

ПРИМЕР:

Найти предельную абсолютную и предельную относительную
погрешность суммы чисел:

24,4
+ 25,2 + 24,7.

РЕШЕНИЕ:

В каждом слагаемом суммы

24,4
+ 25,2 + 24,7 = 74,3

предельная относительная погрешность примерно одна и та
же, а именно:

0,05
: 25 = 0,2%.

Такова же она и для суммы.

Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15,
а относительная

0,15
: 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.

В противоположность
сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и
вычитаемое. <<Потеря точности>> особенно велика в том случае, когда
уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Относительные погрешности при сложении и вычитании
складывать нельзя.

Умножение и деление приближённых чисел.

При делении и умножении чисел требуется сложить
относительные погрешности.

ПРИМЕР:

Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20, и пусть предельная относительная погрешность первого
сомножителя есть 0,4%, а второго
0,5%.

Тогда предельная относительная погрешность произведения

50
× 20 = 1000

приближённо равна 0,9%.
В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

50
× 0,004 = 0,2,

а второго

20
× 0,005 = 0,1.

Поэтому истинная величина произведения не больше чем

(50
+ 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,

и не меньше, чем

(50
– 0,2)(20 – 0,1) = 991,022.

Если истинная величина произведения есть 1009,2,
то погрешность произведения равна

1009,2
– 1000 = 9,02,

а если 991,02, то погрешность произведения равна

1000
– 991,02 = 8,98.

Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит,
предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02.
Предельная относительная погрешность равна

9,02
: 1000 = 0,902%,

то есть приближённо 0,9%.

Задания к уроку 16

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Урок 1. Числовые неравенства
Урок 2. Свойства числовых неравенств
Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
Урок 4. Числовые промежутки
Урок 5. Линейные неравенства
Урок 6. Системы линейных неравенств
Урок 7. Нелинейные неравенства
Урок 8. Системы нелинейных неравенств
Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
Урок 11. Неравенства с модулем
Урок 12. Иррациональные неравенства
Урок 13. Неравенства с двумя переменными
Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
Урок 15. Приближённые вычисления

Статья обновлена 10.07.2022

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Формула абсолютной погрешности

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому значению.

Формула относительной погрешности

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Формула приведенной погрешности

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Классификация оценочной погрешности

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения.

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

Знайте свою аудиторию.
Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
Разделите аудиторию на группы.
Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
Увеличьте размер выборки.
Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

Предварительно протестируйте.
Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
Проводите выборку случайным образом.
Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.

Источник

ВИДЕО УРОК

Абсолютная погрешность.

Для подсчёта
абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.

∆а = А – а.

ПРИМЕР:

В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400,
то абсолютная погрешность измерения равна:

400 – 374 = 26.

ПРИМЕР:

На предприятии 1284 рабочих и
служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная
погрешность составляет

1300 – 1284 = 16.

При округлении до 1280 абсолютная
погрешность составляет

1284 – 1280 = 4.

ПРИМЕР:

Записывают
абсолютную погрешность числа, используя знак
±.

ПРИМЕР:

Длина рулона обоев составляет.

30 м ± 3
см.

Границу абсолютной
погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

ПРИМЕР:

долю
измеряемой величины, а при измерении корешка книги погрешность в 1 см составляет

долю
измеряемой величины.

ПРИМЕР:

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1 и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата А4.

Относительная погрешность.

ПРИМЕР:

Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины
b
стекла и длины l книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до 0,1,

l ≈ 100 с
точностью до 0,1.

то есть относительная погрешность приближения не превосходит 25%.

ПРИМЕР:

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

ПРИМЕР:

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Правила округления.

ПРИМЕР:

Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна:

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

Округляя, находим

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

или, усиливая, 0,02
мм.

Можно воспользоваться
формулой

Подставляя в формулу

а = 35,

𝛿 = 0,0005,

имеем

Значит,

∆
= 35 × 0,0005 = 0,0175 мм.

Действия над приближёнными числами.

Сложение и вычитание приближённых чисел.

Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме
абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

ПРИМЕР:

Складываются приближённые числа

265 и 32.

РЕШЕНИЕ:

Пусть предельная погрешность первого есть 5,
а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна

5
+ 1 = 6.

Так, если истинное значение первого есть 270,
а второго 33, то приближённая сумма

265
+ 32 = 297

на 6 меньше истинной

270
+ 33 = 303.

ПРИМЕР:

Найти сумму приближённых чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Предельная погрешность каждого слагаемого

0,00005.

Предельная погрешность суммы:

0,00005
∙ 9 = 0,00045.

– когда истинная величина каждого слагаемого больше
приближённой величины на 0,00005;

– когда истинная величина каждого слагаемого меньше
приближённой величины на 0,00005.

ПРИМЕР:

Найти сумму точных чисел:

0,0909
+ 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667

+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.

РЕШЕНИЕ:

Сложение даёт следующий результат – 0,6187.

Округлим их до тысячных и сложим:

0,091
+ 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067

+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.

Предельная погрешность суммы:

0,0005
∙ 9 = 0,0045.

Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь
предельная погрешность суммы будет:

0,005
∙ 9 = 0,045.

Между тем получим:

0,09
+ 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07

+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.

Истинная погрешность составляет только 0,0013.

ПРИМЕР:

85
– 32 = 53

есть

2
+ 3 = 5.

В самом деле, истинное значение уменьшаемого и
вычитаемого могут равняться

85
+ 2 = 87 и

32
– 3 = 29.

Тогда истинная разность есть

87
– 29 = 58.

Она на 5 отличается от
приближённой разности 53.

Относительная погрешность суммы и разности.

ПРИМЕР:

Найти предельную абсолютную и предельную относительную
погрешность суммы чисел:

24,4
+ 25,2 + 24,7.

РЕШЕНИЕ:

В каждом слагаемом суммы

24,4
+ 25,2 + 24,7 = 74,3

предельная относительная погрешность примерно одна и та
же, а именно:

0,05
: 25 = 0,2%.

Такова же она и для суммы.

Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15,
а относительная

0,15
: 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.

Относительные погрешности при сложении и вычитании
складывать нельзя.

Умножение и деление приближённых чисел.

При делении и умножении чисел требуется сложить
относительные погрешности.

ПРИМЕР:

Тогда предельная относительная погрешность произведения

50
× 20 = 1000

приближённо равна 0,9%.
В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

50
× 0,004 = 0,2,

а второго

20
× 0,005 = 0,1.

Поэтому истинная величина произведения не больше чем

(50
+ 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,

и не меньше, чем

(50
– 0,2)(20 – 0,1) = 991,022.

Если истинная величина произведения есть 1009,2,
то погрешность произведения равна

1009,2
– 1000 = 9,02,

а если 991,02, то погрешность произведения равна

1000
– 991,02 = 8,98.

9,02
: 1000 = 0,902%,

то есть приближённо 0,9%.

Задания к уроку 16

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Урок 1. Числовые неравенства
Урок 2. Свойства числовых неравенств
Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
Урок 4. Числовые промежутки
Урок 5. Линейные неравенства
Урок 6. Системы линейных неравенств
Урок 7. Нелинейные неравенства
Урок 8. Системы нелинейных неравенств
Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
Урок 11. Неравенства с модулем
Урок 12. Иррациональные неравенства
Урок 13. Неравенства с двумя переменными
Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
Урок 15. Приближённые вычисления

Источник

Содержание

Лабораторная работа №1. Определение показаний измерительного прибора
Лабораторная работа №2. Определение размеров малых тел
Лабораторная работа №3. Измерение массы тела
Лабораторная работа №4. Измерение объема твердого тела
Лабораторная работа №5. Определение плотности твердого тела
Лабораторная работа №6. Исследование силы упругости
Лабораторная работа №7. Градуирование пружины и измерение сил динамометром
Лабораторная работа №8. Исследование зависимости силы трения скольжения от площади соприкосновения тел, прижимающей силы, рода поверхности
Лабораторная работа №9. Изучение выталкивающей силы, действующей на погруженное в жидкость тело
Лабораторная работа №10. Выяснение плавания тела в жидкости
Лабораторная работа №11. Выяснение условия равновесия рычага
Лабораторная работа №12. Определение КПД наклонной плоскости

Лабораторная работа №1. Определение показаний измерительного прибора

Стр. 207

Цель работы: Определить цену деления шкалы измерительного цилиндра, определить с его помощью объем жидкости.

Приборы и материалы: Измерительный цилиндр, стакан с водой, небольшие сосуды.

Ход работы:

1.Общее правило для определения цены деления шкалы измерительного прибора: необходимо выбрать два соседних обозначенных штриха, вычесть из большего меньшее и разделить полученную разницу на количество делений между выбранными нами обозначенными штрихами.

Сократить текст Перефразировать

Предположим, что выданный учителем измерительный цилиндр рассчитан на 100 мл: верхнее значение 100 мл, нижнее – 10 мл. Тогда выбираем два соседних обозначенных штриха (у которых стоят числа) – например, 90 и 100. Между ними 10 делений. Значит цена деления С = $\frac{100 — 90}{10}$ = 1 (мл).

Сократить текст Перефразировать

$C:\Users\Пользователь\Downloads\photo_5409010349077810118_y.jpg$

Цена деления шкалы, мл	1
Верхний предел измерения шкалы, мл	100
Нижний предел измерения шкалы, мл	10

2.Приступаем к определению объема налитой жидкости.

Важно! Для уменьшения погрешности измерения следует глаз располагать на уровне, совпадающем с плоской частью поверхности жидкости.

Сократить текст Перефразировать

Наливаем некоторое количество воды из наполненного до краев стакана в измерительный цилиндр. Например, получили 53 мл.

Сократить текст Перефразировать

3.Определим вместимость стакана. Доливаем в измерительный цилиндр оставшуюся в стакане воду. Например, получили 70 мл.

4.Записываем данные в таблицу. Строка первая.

Измерения записываются с учетом абсолютной погрешности, она равна половине цены деления ΔV = $\frac{С}{2}$ . ΔV = $\frac{1}{2}$ = 0,5 (мл).

Сократить текст Перефразировать

5.Так же с помощью выданного учителем измерительного цилиндра определяем вместимость других сосудов, которые вам выдал учитель.

Сократить текст Перефразировать

Все приведенные значения взяты в качестве образца. По образу и подобию повторите опыт со своими значениями.

Сократить текст Перефразировать

№ опыта	Название сосуда	Объем жидкости V_ж ± ΔV, мл	Вместимость сосуда V_с ± ΔV, мл
1	Стакан	53,0 ± 0,5	70,0 ± 0,5
2	Сосуд 1	24,0 ± 0,5	50,0 ± 0,5
3	Сосуд 2	69,0 ± 0,5	90,0 ± 0,5

№ опыта

Название сосуда

Объем жидкости

V_ж ± ΔV, мл

Вместимость сосуда V_с ± ΔV, мл

Стакан

53,0 ± 0,5

70,0 ± 0,5

Сосуд 1

24,0 ± 0,5

50,0 ± 0,5

Сосуд 2

69,0 ± 0,5

90,0 ± 0,5

Вывод: Цена деления измерительного цилиндра составляет 1 мл; с учетом абсолютной погрешности, равной 0,5 мл, объем жидкости равен 53,0 ± 0,5 мл; вместимость сосудов – 70,0 ± 0,5 мл.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №2. Определение размеров малых тел

Стр. 208

Цель работы: Определить размеры малых тел способом рядов.

Приборы и материалы: Линейка ученическая, горох, пшено (или круглые бусины, бисер), иголка.

Ход работы:

1. Нужно вычислить диаметр одной горошины. Положим вплотную к линейке 30 горошин в ряд. Получили длину ряда l = 176 мм. Делим ее на число N горошин в ряду d = $\frac{l}{N}$ = $\frac{176}{30}$ = 5,87 мм.

Сократить текст Перефразировать

2. Результаты измерений записываем в таблицу с учетом абсолютной погрешности. Абсолютная погрешность измерения длины ряда равна цене деления шкалы линейки. Цена деления линейки равна C = $\frac{1 — 0}{10}$ = 0,1 см = 1 мм. Значит, абсолютная погрешность измерения длины ряда равна Δl = 1 мм.

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность измерения диаметра горошины будет в N раз меньше, то есть Δd = $\frac{\Delta l}{N}$ = $\frac{1}{30}$ = 0,03 мм. Это первая строка таблицы.

Сократить текст Перефразировать

3. Определяем методом рядов размер крупинки пшена. Так же положили 30 крупинок в ряд вплотную к линейке. Получили длину ряда l = 31 мм. Делим ее на число N крупиц пшена в ряду d = $\frac{l}{N}$ = $\frac{31}{30}$ = 1,03 мм. Абсолютные погрешности остаются такими же. Это вторая строка таблицы.

Сократить текст Перефразировать

4. Увеличим количество крупинок пшена в два раза (N = 60). Получили длину ряда l = 63 мм. Делим ее на число N крупиц пшена в ряду d = $\frac{l}{N}$ = $\frac{63}{60}$ = 1,05 мм. Абсолютная погрешность измерения длины ряда равна остается той же Δl = 1 мм. Абсолютная погрешность измерения диаметра горошины будет в N раз меньше, то есть Δd = $\frac{\Delta l}{N}$ = $\frac{1}{60}$ = 0,02 мм.

Сократить текст Перефразировать

№ опыта	Число частиц в ряду	Длина ряда l ± Δl, мм	Размер одной частицы d ± Δd, мм
1 (горох)	30	176 ± 1	5,87 ± 0,03
2 (пшено)	30	31 ± 1	1,03 ± 0,03
3 (пшено)	60	63 ± 1	1,05 ± 0,02

№ опыта

Число частиц в ряду

Длина ряда

l ± Δl, мм

Размер одной частицы

d ± Δd, мм

1 (горох)

176 ± 1

5,87 ± 0,03

2 (пшено)

31 ± 1

1,03 ± 0,03

3 (пшено)

63 ± 1

1,05 ± 0,02

Вывод: мы определили размеры малых тел способом рядов. Этот метод действительно легок и удобен в использовании, когда нужно измерить размер крайне малого тела.

Сократить текст Перефразировать

Дополнительное задание

Способом рядов определяем диаметр молекулы золота по фотографии.

Сократить текст Перефразировать

Возьмем ряд длиной l = 2 см = 20 мм

Делим длину ряда на число молекул N = 12 и получаем диаметр одной частицы:

Сократить текст Перефразировать

d = $\frac{l}{N}$ = $\frac{20}{12}$ = 1,7 мм.

Сократить текст Перефразировать

Чтобы найти истинный размер одной частицы, нужно размер на фотографии разделить на увеличение фотографии (на 5 миллионов):

Сократить текст Перефразировать

d_ист = $\frac{1,7}{5000000}$ = 0,00000034 мм

Сократить текст Перефразировать

Число частиц в ряду	Длина ряда l, мм	Размер одной частицы d, мм
12	20	1,7	0,00000034

Число частиц в ряду

Длина ряда l, мм

Размер одной частицы

d, мм

На фотографии

Истинный

1,7

0,00000034

Вывод: с помощью способа рядов мы определили диаметр молекулы золота.

Лабораторная работа №3. Измерение массы тела

Стр. 210

Цель работы: Измерить массу тела с помощью весов.

Приборы и материалы: Весы рычажные с разновесами, электронные весы, несколько небольших тел разной массы.

Ход работы:

1. Перед началом взвешивания проверьте, что весы уравновешены. На левую чашу весов кладем взвешиваемое тело, на правую ставим гири, начиная с большей. Методом подбора добились равновесия.

Сократить текст Перефразировать

2. Результаты записываем в таблицу. Абсолютная погрешность равна массе наименьшего разновеса на чаше весов.

№ опыта	Название тела	Масса гирь, которыми уравновешено тело	Масса тела m ± Δm, г
1	Тело 1	5 г, 200 мг, 10 мг	5,21 ± 0,01
2	Тело 2	1г, 200 мг, 100 мг	1,3 ± 0,1
3	Тело 3	100г, 5 г, 10 мг	105,01 ± 0,01

№ опыта

Название тела

Масса гирь, которыми уравновешено тело

Масса тела

m ± Δm, г

Тело 1

5 г, 200 мг, 10 мг

5,21 ± 0,01

Тело 2

1г, 200 мг, 100 мг

1,3 ± 0,1

Тело 3

100г, 5 г, 10 мг

105,01 ± 0,01

3. Проводим измерения массы этих же тел с помощью электронных весов. Измерения проводим не менее трех раз.

4. Необходимо вычислить среднее значение массы m_ср по результатам многократных измерений по формуле m_ср = $\frac{m1 + \ m2 + \ m3}{3}$

Сократить текст Перефразировать

Возьмем в пример первое тело:

m_ср = $\frac{5,221 + \ 5,222 + \ 5,223}{3}$ = 5,2213 г

Сократить текст Перефразировать

Чтобы найти Δm_ср, определяем отклонение каждого результата от среднего арифметического (В ТАБЛИЦУ ЭТИ ОТКЛОНЕНИЯ НЕ ПОЙДУТ, ТОЛЬКО Δm_ср):

Сократить текст Перефразировать

Δm₁ = |m_ср – m₁| = |5,2213 – 5,221| = |0,0003| = 0,0003 (г)

Сократить текст Перефразировать

Δm₂ = |m_ср – m₂| = |5,2213 – 5,222| = |-0,0007| = 0,0007 (г)

Сократить текст Перефразировать

Δm₃ = |m_ср – m₃| = |5,2213 – 5,221| = |0,0003| = 0,0003 (г)

Сократить текст Перефразировать

Затем определяем Δm_ср = $\frac{\text{Δm}1 + \ \text{Δm}2 + \text{Δm}3}{3}$

Сократить текст Перефразировать

Δm_ср = $\frac{\text{Δm}1 + \ \text{Δm}2 + \text{Δm}3}{3}$ = $\frac{0,0003 + \ 0,0007 + 0,0003}{3}$ = 0,0004 (г)

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность Δm указана в паспорте весов (скорее всего у вас будет либо 1 мг, либо 0,01 г). Я возьму 1 мг = 0,001 г. ВЫ БЕРЕТЕ ОГРЕШНОСТЬ, НАПИСАННУЮ В ПАСПОРТЕ ПРИБОРА, КОТОРЫЙ ВАМ ВЫДАСТ УЧИТЕЛЬ.

Сократить текст Перефразировать

Название тела	m₁ ± Δm, г	m₂ ± Δm, г	m₃ ± Δm, г	m_ср ± Δm_ср, г
Тело 1	5,221 ± 0,001	5,222 ± 0,001	5,221 ± 0,001	5,2210 ± 0,0004

То же самое проделайте с телом 2 и телом 3.

Сократить текст Перефразировать

Вывод: сравнив результаты измерений на учебных и электронных весах, получили, что в случае с электронными весами провести измерения получилось с большей точностью, погрешность оказалась на два порядка меньше, чем у рычажных весов с разновесами.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №4. Измерение объема твердого тела

Стр. 211

Цель работы: Измерить объем твердого тела с помощью измерительного цилиндра.

Приборы и материалы: Измерительный цилиндр, металлический брусок, тела неправильной формы небольшого объема (гайки, пластиковые игрушки, кусочки металла и др.), нитки.

Сократить текст Перефразировать

Ход работы:

1.Определяем цену деления шкалы измерительного цилиндра. Выбираем два соседних обозначенных штриха, вычитаем из большего меньшее и делим полученную разницу на количество делений между выбранными нами обозначенными штрихами. С = $\frac{135 — 130}{5}$ = 1 мл = 1 см³.

Сократить текст Перефразировать

2. Наливаем воду в измерительный цилиндр, допустим, это будет V₁ = 78 мл = 78 см³.

3. Опускаем брусок полностью в воду. Объем воды и бруска V₂ = 98 мл = 98 см³. Определяем объем бруска V = V₂ – V₁ = 98 – 78 = 20 мл = 20 см³.

Сократить текст Перефразировать

4. Длина бруска равна a = 4,6 см

Ширина бруска b = 2,5 см

Высота бруска c = 1,7 см

V = abc = 4,6 × 2,5 × 1,7 = 19,55 см³

5. ΔV₁ = С = 1 см³

ΔV₂= С = 1 см³

ΔV = ΔV₁ + ΔV₂ = 1+1 = 2 см³

№ опыта	Название тела/части тела	Объем воды в измерительном цилиндре V₁ ± ΔV₁, см³	Объем воды и тела/части тела V₂ ± ΔV₂, см³	Объем тела/части тела V ± ΔV, см³	Рассчитанный объем тела/части тела V, см³
1	брусок	78 ± 1	98 ± 1	20 ± 2	19,55

№ опыта

Название тела/части тела

Объем воды в измерительном цилиндре

V₁ ± ΔV₁, см³

Объем воды и тела/части тела

V₂ ± ΔV₂, см³

Объем тела/части тела

V ± ΔV, см³

Рассчитанный объем тела/части тела V, см³

брусок

78 ± 1

98 ± 1

20 ± 2

19,55

6. Объем воды в измерительном цилиндре V₁ = 78 мл = 78 см³.

Объем воды с опущенным наполовину V₂ = 88 мл = 88 см³. Определяем объем половины бруска V = V₂ – V₁ = 88 – 78 = 10 мл = 10 см³.

Сократить текст Перефразировать

7. Длина бруска равна a = 2,3 см

Ширина бруска b = 2,5 см

Высота бруска c = 1,7 см

V = abc = 2,3 × 2,5 × 1,7 = 9,78 см³

Объемы с учетом погрешности получились равными.

Сократить текст Перефразировать

Вывод: мы научились измерять объем твердого тела с помощью измерительного цилиндра: для этого необходимо определить разницу между начальным объемом воды в измерительном цилиндре и объемом воды с погруженным в нее телом.

Сократить текст Перефразировать

Дополнительное задание:

Заполняем воду в отливной сосуд, пока она не начнет течь из носика в стоящий рядом сосуд. Ждем, пока вода не перестанет течь. Излишки вылившейся воды в стоящем рядом сосуде убираем. Затем погружаем в отливной сосуд тело неправильной формы. Вода выльется из носика в стоящий рядом пустой сосуд. Объем вытесненной воды будет равен объему погруженного тела. Далее переливаем вытесненную воду в измерительный цилиндр и по шкале смотрим, каким объемом обладает наше тело.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №5. Определение плотности твердого тела

Стр. 213

Цель работы: Определить плотность вещества твердого тела с помощью весов и измерительного цилиндра.

Приборы и материалы: Весы рычажные с разновесами, измерительный цилиндр, твердое тело неизвестной плотности, нить.

Ход работы:

1. С помощью рычажных весов с разновесами определяем массу тела. Сначала нужно добиться равновесия весов. Затем на левую чашу ставим тело и уравновешиваем ее разновесами на правой чаше. Поставили разновесы массой 50 г, 10 г и 5 г.

Сократить текст Перефразировать

m = 50 + 10 + 5 = 65 г.

Абсолютная погрешность равна массе наименьшего разновеса на чаше весов: Δm = 5 г.

Сократить текст Перефразировать

2. Записываем в таблицу.

3. С помощью измерительного цилиндра измеряем объем тела. Первоначальный объем воды V₁ = 78 мл = 78 см³. Объем воды с опущенным телом V₂ = 103 мл = 103 см³. Определяем объем половины бруска V = V₂ – V₁ = 103 – 78 = 25 мл = 25 см³.

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность:

ΔV₁ = С = 1 см³

ΔV₂= С = 1 см³

ΔV = ΔV₁ + ΔV₂ = 1+1 = 2 см³

Масса тела m ± Δm, г	Объем тела V ± ΔV, см³	Плотность вещества ρ
65 ± 5	25 ± 2	2,5	2500

Масса тела

m ± Δm, г

Объем тела

V ± ΔV, см³

Плотность вещества ρ

\[\frac{г}{см3}\]

\[\frac{кг}{м3}\]

65 ± 5

25 ± 2

2,5

2500

По формуле ρ = $\frac{m}{V}$ считаем плотность вещества, из которого сделано тело: ρ = $\frac{65}{25}$ = 2,5 г/см³ = 2500 кг/м³.

Сократить текст Перефразировать

Это может быть тело из бетона.

Вывод: мы определили плотность вещества твердого тела, измерив массу на рычажных весах и объем – в измерительном цилиндре.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №6. Исследование силы упругости

Стр. 214

Цель работы: Проверить справедливость гипотезы: «При небольших деформациях сила упругости прямо пропорциональна удлинению пружины».

Сократить текст Перефразировать

Приборы и материалы: Штатив с муфтой и лапкой, спиральная пружина, набор грузов массой 100 г каждый, линейка.

Ход работы:

Длина пружины в ненагруженном состоянии l₀ = 5,5 см.

Сократить текст Перефразировать

Подвешивая к пружине последовательно грузы массой 100 г каждый, получаем, что длина нагруженной пружины, удлинение x = l – l₀ и сила упругости F_упр= nF_тяж = nmg (где n – число грузов) равны:

Сократить текст Перефразировать

с одним грузом l = 8 см; x = 8 – 5,5 = 2,5 см; F_упр= 1 × 0,1 × 10 = 1 Н

Сократить текст Перефразировать

с двумя грузами l = 10,5 см; x = 10,5 – 5,5 = 5 см; F_упр= 2 × 0,1 × 10 = 2 Н

Сократить текст Перефразировать

с тремя грузами l = 13 см; x = 13 – 5,5 = 7,5 см; F_упр= 3 × 0,1 × 10 = 3 Н

Сократить текст Перефразировать

с четырьмя грузами l = 15,5 см; x = 15,5 – 5,5 = 10 см; F_упр= 4 × 0,1 × 10 = 4 Н

Сократить текст Перефразировать

Цена деления линейки равна C = $\frac{1 — 0}{10}$ = 0,1 см. Значит, абсолютная погрешность измерения Δl₀ = Δl = 0,1 см.

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность Δx = Δl₀ + Δl = 0,1 + 0,1 = 0,2 см

Сократить текст Перефразировать

Число грузов	Начальная длина пружины l₀ ± Δl₀, см	Длина нагруженной пружины l ± Δl, см	Сила упругости пружины F_упр	Удлинение x ± Δx, см	Отношение удлинений и сил упругости
\[\frac{x}{x_{1}}\]	\[\frac{F_{упр}}{F_{упр1}}\]
1	5,5 ± 0,1	8,0 ± 0,1	1	2,5 ± 0,2	–	–
2	10,5 ± 0,1	2	5,0 ± 0,2	2	2
3	13,0 ± 0,1	3	7,5 ± 0,2	3	3
4	15,5 ± 0,1	4	10,0 ± 0,2	4	4

Найдем отношение удлинения пружины для двух, трех и четырех грузов к удлинению пружины с одним грузом $\frac{x}{x_{1}}$:

Сократить текст Перефразировать

для двух грузов: $\frac{5}{2,5}$ = 2

для трех грузов: $\frac{7,5}{2,5}$ = 3

Сократить текст Перефразировать

для четырех грузов: $\frac{10}{2,5}$ = 4

Сократить текст Перефразировать

Найдем отношение сил упругости пружины с двумя, тремя, четырьмя грузами к силе упругости пружины с одним грузом $\frac{F_{упр}}{F_{упр1}}$:

Сократить текст Перефразировать

с двумя грузами: $\frac{2}{1}$ = 2

с тремя грузами: $\frac{3}{1}$ = 3

с четырьмя грузами: $\frac{4}{1}$ = 4

Получили, что действительно при небольших деформациях сила упругости прямо пропорциональна удлинению пружины. В таблице видна прямая зависимость.

Сократить текст Перефразировать

Вывод: на основе полученных результатов можно сделать вывод, что гипотеза «При небольших деформациях сила упругости прямо пропорциональна удлинению пружины» справедлива.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №7. Градуирование пружины и измерение сил динамометром

Стр. 215

Цель работы: Проградуировать пружину, получить шкалу с заданной ценой деления и с помощью созданного динамометра измерить силы.

Сократить текст Перефразировать

Приборы и материалы: Динамометр, шкала которого закрыта бумагой, набор грузов массой 100 г каждый, штатив с муфтой и лапкой, линейка, груз неизвестной массы.

Сократить текст Перефразировать

Ход работы:

1. Укрепили динамометр с закрытой шкалой в лапке штатива вертикально. На бумаге отметили начальное положение указателя – это будет нулевая отметка шкалы.

Сократить текст Перефразировать

$C:\Users\Пользователь\Desktop\1.jpg$

2. Подвесим к крючку динамометра груз массой 100 г, считая, что на один груз действует сила тяжести 1 Н. Затем довешиваем второй груз, третий и четвертый.

Сократить текст Перефразировать

Положения указателя отмечаем штрихом.

3. Затем оцифруем горизонтальные штрихи, начиная с верхнего, проставив числа 0, 1, 2, 3, 4. Выше полученной шкалы указываем единицы измерения.

Сократить текст Перефразировать

$C:\Users\Пользователь\Desktop\5.jpg$

4. С помощью линейки делим расстояние между штрихами, чтобы цена деления шкалы была равна 0,1 Н. Чтобы найти количество делений, нужно выбрать два рядом стоящих штриха, из большего вычесть меньшее и разделить на цену деления 0,1 Н: n = $\frac{4 — 1}{0,1}$ = 10 делений.

Сократить текст Перефразировать

$C:\Users\Пользователь\Desktop\6.jpg$

5. Проградуированным динамометром измеряем вес груза. Измерили вес груза массой 250 г, получили P = 2,5 Н.

Вывод: мы проградуировали пружину, получили шкалу с заданной ценой деления и с помощью созданного динамометра измерили силы.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №8. Исследование зависимости силы трения скольжения от площади соприкосновения тел, прижимающей силы, рода поверхности

Стр. 216

Цель работы: Исследовать зависимость силы трения скольжения от площади соприкосновения тел, прижимающей силы и рода поверхности.

Сократить текст Перефразировать

Приборы и материалы: Динамометр, деревянный брусок, набор грузов массой 100 г каждый, деревянная и пластиковая рейки.

Ход работы:

1. Определим вес бруска с помощью динамометра: P = 0,5 Н.

2. Запишем результат в таблицу. Абсолютная погрешность равна цене деления шкалы динамометра: ΔP = ΔF = С = $\frac{2 — 1}{10}$ = 0,1(Н)

Сократить текст Перефразировать

№ опыта	Сила трения F_тр ± ΔF, Н	Вес тела P ± ΔP, Н
Широкая грань бруска	Узкая грань бруска
1	0,2 ± 0,1	0,2 ± 0,1	0,5 ± 0,1
2	0,5 ± 0,1	0,5 ± 0,1	1,5 ± 0,1
3	0,8 ± 0,1	0,8 ± 0,1	2,5 ± 0,1

3. Положим брусок на деревянную рейку широкой гранью и с помощью динамометра измерим силу тяги: F_тр = 0,2 Н.

4. Положим брусок на доску узкой гранью и с помощью динамометра измерим силу трения скольжения: F_тр = 0,2 Н.

5. Нагружая брусок поочередно одним, а затем двумя, повторим измерения.

С одним грузом: Измеряем вес бруска вместе с весом груза: P = 1,5 Н. Измеряем на большей грани силу трения: F_тр = 0,5 Н. Измеряем на меньшей грани силу трения: F_тр = 0,5 Н.

Сократить текст Перефразировать

С двумя грузами: Измеряем вес бруска вместе с весом грузов: P = 2,5 Н. Измеряем на большей грани силу трения: F_тр = 0,8 Н. Измеряем на меньшей грани силу трения: F_тр = 0,8 Н.

Сократить текст Перефразировать

7. Повторяем пункты, начиная с третьего, заменив деревянную рейку пластиковой. Нужно прийти к выводу, что сила трения зависит от рода поверхности.

Сократить текст Перефразировать

Вывод: на основе полученных результатов пришли к выводу, что сила трения скольжения зависит прижимающей силы и рода поверхности, однако не зависит от площади соприкосновения тел.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №9. Изучение выталкивающей силы, действующей на погруженное в жидкость тело

Стр. 217

Цель работы: Исследовать зависимость выталкивающей силы, действующей на погруженное в жидкость тело, от плотности жидкости и объема погруженной части тела.

Сократить текст Перефразировать

Приборы и материалы: Динамометр, штатив с муфтой и лапкой, нить, два тела разного объема, два тела одинакового объема разной массы, стаканы с водой и насыщенным раствором поваренной соли в воде.

Сократить текст Перефразировать

Ход работы:

1. Подвесим на динамометр тело и измерим его вес в воздухе: P_V1 = 0,7 Н.

2. Подставим стакан с водой и опустим муфту с лапкой и динамометром так, чтобы все тело оказалось под водой; снимем показание динамометра: вес тела в воде P_1V1 = 0,5 Н.

Сократить текст Перефразировать

3. По полученным данным вычисляем выталкивающую силу F_V1 = P_V1 – P_1V1:

F_V1 = 0,7 – 0,4 = 0,3 Н.

4. Записываем измерения в таблицу. Абсолютная погрешность ΔP равна цене деления динамометра: ΔP = С = $\frac{2 — 1}{10}$ = 0,1 Н

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность измерения выталкивающей силы равна ΔF = 2ΔP:

Сократить текст Перефразировать

ΔF = 2 × 0,1 = 0,2 Н

5. Опускаем тело в насыщенный раствор соли: вес тела в насыщенном растворе соли P_1V1 = 0,4 Н; выталкивающая сила тела в насыщенном растворе соли F_V1 = 0,7 – 0,4 = 0,3 Н

Сократить текст Перефразировать

Жидкость	Вес тела в воздухе P ± ΔP, Н	Вес тела в жидкости P₁ ± ΔP, Н	Выталкивающая сила F ± ΔF, Н
Вода	0,7 ± 0,1	0,9 ± 0,1	0,5 ± 0,1	0,6 ± 0,1	0,2 ± 0,2	0,3 ± 0,2
Насыщенный раствор соли в воде	0,7 ± 0,1	0,9 ± 0,1	0,4 ± 0,1	0,5 ± 0,1	0,3 ± 0,2	0,4 ± 0,2

Жидкость

Вес тела в воздухе

P ± ΔP, Н

Вес тела в жидкости

P₁ ± ΔP, Н

Выталкивающая сила

F ± ΔF, Н

P_V1

P_V2

P_1V1

P_1V2

F_V1

F_V2

Вода

0,7 ± 0,1

0,9 ± 0,1

0,5 ± 0,1

0,6 ± 0,1

0,2 ± 0,2

0,3 ± 0,2

Насыщенный раствор соли в воде

0,7 ± 0,1

0,9 ± 0,1

0,4 ± 0,1

0,5 ± 0,1

0,3 ± 0,2

0,4 ± 0,2

6. То же самое проделываем со вторым грузом: вес тела в воздухе P_V2 = 0,9 Н; вес тела в воде P_1V2 = 0,6; выталкивающая сила F_V2 = 0,9 – 0,6 = 0,3 Н.

Сократить текст Перефразировать

Вес тела в насыщенной раствор соли: P_1V1 = 0,5 Н; выталкивающая сила F_V2 = 0,9 – 0,5 = 0,4 Н.

Сократить текст Перефразировать

Вывод: проанализировав результаты, мы сделали выводы, что выталкивающая сила возрастает с увеличением объема погруженной части тела, а так же зависит от плотности жидкости: с увеличением плотности жидкости, увеличивается и выталкивающая сила.

Сократить текст Перефразировать

Дополнительное задание 1: выталкивающая сила не будет зависеть от массы и плотности тела.

Дополнительное задание 2: выталкивающая сила будет зависеть от объема погруженной части тела: выталкивающая сила возрастает с увеличением объема погруженной части тела.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №10. Выяснение плавания тела в жидкости

Стр. 219

Цель работы: Исследовать явление плавания тел в жидкости.

Приборы и материалы: Весы рычажные с разновесами, измерительный цилиндр, пробирка (аптечный пузырек) с пробкой, проволочный крючок, сухой песок, фильтровальная бумага или сухая тряпка.

Сократить текст Перефразировать

Ход работы:

1. Погружаем пробирку с песком в воду, чтобы она частично погрузилась:

объем вытесненной воды V = 14 мл = 14 см³ = 0,000014 м³

Сократить текст Перефразировать

выталкивающая сила F_А = ρ_жV_п.ч.g = 1000 кг/м³ × 9,8 Н/кг × 0,000014 м³ = 0,14

Сократить текст Перефразировать

масса равна сумме масс разновесов 10 г, 1г, 1 г, 1г: m = 10+1+1+1 = 13 г = 0,013 кг

Сократить текст Перефразировать

сила тяжести пробирки с песком: F_тяж = mg = 0,013 × 9,8 = 0,13 Н

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность объема равна цене деления измерительного цилиндра: ΔV = С = 2 мл = 2 см³ = 0,000002 м³.

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность массы пробирки с песком равна массе наименьшего разновеса на чаше весов: Δm = 1 г = 0,001 кг.

Сократить текст Перефразировать

2. Добавляем песок в пробирку, чтобы пробирка полностью погрузилась в воду (плавает):

объем вытесненной воды V = 20 мл = 20 см³ = 0,00002 м³

Сократить текст Перефразировать

выталкивающая сила F_А = ρ_жV_п.ч.g = 1000 кг/м³ × 9,8 Н/кг × 0,00002 м³ = 0,2 Н

Сократить текст Перефразировать

масса равна сумме масс разновесов 20 г, 1г, 1 г,: m = 20+1+1= 22 г = 0,022 кг

Сократить текст Перефразировать

сила тяжести пробирки с песком: F_тяж = mg = 0,022× 9,8 = 0,22 Н

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность объема равна цене деления измерительного цилиндра: ΔV = С = 2 мл = 2 см³ = 0,000002 м³.

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность массы пробирки с песком равна массе наименьшего разновеса на чаше весов: Δm = 1 г.

Сократить текст Перефразировать

3. Добавляем еще песок в пробирку, чтобы она опустилась на дно:

объем вытесненной воды V = 20 мл = 20 см³ = 0,00002 м³

Сократить текст Перефразировать

выталкивающая сила F_А = ρ_жV_п.ч.g = 1000 кг/м³ × 9,8 Н/кг × 0,00002 м³ = 0,2 Н

Сократить текст Перефразировать

масса равна сумме масс разновесов 20 г, 5г, 1 г, 1 г, 1г: m = 20+5+1+1+1 = 28 г = 0,028 кг

Сократить текст Перефразировать

сила тяжести пробирки с песком: F_тяж = mg = 0,028 × 9,8 = 0,28 Н

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность объема равна цене деления измерительного цилиндра: ΔV = С = 2 мл = 2 см³ = 0,000002 м³.

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность массы пробирки с песком равна массе наименьшего разновеса на чаше весов: Δm = 1 г.

Сократить текст Перефразировать

№ опыта	Масса пробирки с песком m ± Δm, кг	Сила тяжести пробирки с песком F_тяж, Н	Объем вытесненной воды V ± ΔV, м³	Выталкивающая сила, действующая на пробирку Сократить текст Перефразировать F_А, Н	Поведение пробирки в воде
1	0,013 ± 0,001	0,13	0,000014 ± 0,000002	0,14	Частично погрузилась
2	0,022 ± 0,001	0,22	0,000020 ± 0,000002	0,2	Полностью погрузилась
3	0,028 ± 0,001	0,28	0,000020 ± 0,000002	0,2	Опустилась на дно

№ опыта

Масса пробирки с песком

m ± Δm, кг

Сила тяжести пробирки с песком

F_тяж, Н

Объем вытесненной воды

V ± ΔV, м³

Выталкивающая сила, действующая на пробирку

Сократить текст Перефразировать

F_А, Н

Поведение пробирки в воде

0,013 ± 0,001

0,13

0,000014 ± 0,000002

0,14

Частично погрузилась

0,022 ± 0,001

0,22

0,000020 ± 0,000002

0,2

Полностью погрузилась

0,028 ± 0,001

0,28

0,000020 ± 0,000002

0,2

Опустилась на дно

Вывод: на основе полученных результатов можно сделать выводы, что тело всплывает, если сила тяжести меньше архимедовой силы; тело плавает, если сила тяжести равна архимедовой силе; тело тонет, если сила тяжести больше архимедовой силы.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №11. Выяснение условия равновесия рычага

Стр. 220

Цель работы: Проверить на опыте условие равновесия рычага и правило моментов.

Приборы и материалы: Рычаг на штативе, набор грузов массой 100 г каждой, линейкой, динамометр.

Ход работы:

1) Уравновесим рычаг.

2) Подвесим два груза на левой части рычага на расстоянии l₁ = 9 см от оси вращения. Чтобы рычаг пришел в горизонтальное равновесное положение, на правой части от оси вращения подвешиваем: а) один груз F₂ = 1 Н на расстоянии l₂ = 18 см; б) два груза F₂ = 2 Н на расстоянии l₂ = 9 см; в) три груза F₂ = 3 Н на расстоянии l₂ = 6 см.

Сократить текст Перефразировать

3) Находим отношение сил и плеч: $\frac{F_{1}}{F_{2}}$ и $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ .

4) Находим моменты сил M₁ = F₁l₁ и M₂ = F₂l₂

Абсолютная погрешность Δl будет равна цене деления линейки, в моем случае Δl = 0,1 см

Сократить текст Перефразировать

№ опыта	Сила F₁ на левой части рычага, Н	Плечо l₁ ± Δl, см	Сила F₂ на правой части рычага, Н	Плечо l₂ ± Δl, см	Отношение сил и плеч	Моменты силы
\[\frac{F_{1}}{F_{2}}\]	\[\frac{l_{1}}{l_{2}}\]	M₁, Н·м	M₂, Н·м
1	2	9,0 ± 0,1	1	18,0 ± 0,1	2	0,5	18	18
2	2	9,0 ± 0,1	2	9,0 ± 0,1	1	1	18	18
3	2	9,0 ± 0,1	3	6,0 ± 0,1	0,67	1,5	18	18

Вывод: мы на опыте проверили условие равновесия рычага и правило моментов, рычаг находится в равновесии тогда, когда силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.

Сократить текст Перефразировать

Дополнительное задание: исследовать равновесие рычага второго рода.

1) На расстоянии l₁ = 5 см от оси вращения рычага подвесим 2 груза F₁ = 2H.

2) На расстоянии l₂ = 20 см от оси вращения правее грузов с помощью динамометра приложим силу равную F₂ = 0,5H, чтобы удержать рычаг в равновесии.

Сократить текст Перефразировать

№ опыта	Сила F₁ на левой части рычага, Н	Плечо l₁ ± Δl, см	Сила F₂ на правой части рычага, Н	Плечо l₂ ± Δl, см	Отношение сил и плеч	Моменты силы
1	2	5,0 ± 0,1	0,5	20,0 ± 0,1	4	0,25	10	10

№ опыта

Сила F₁ на левой части рычага, Н

Плечо

l₁ ± Δl, см

Сила F₂ на правой части рычага, Н

Плечо

l₂ ± Δl, см

Отношение сил и плеч

Моменты силы

\[\frac{F_{1}}{F_{2}}\]

\[\frac{l_{1}}{l_{2}}\]

M₁, Н·м

M₂, Н·м

5,0 ± 0,1

0,5

20,0 ± 0,1

0,25

Вывод: мы на опыте проверили, что условие равновесия рычага и правило моментов для рычага второго рода так же сохраняется.

Сократить текст Перефразировать

Лабораторная работа №12. Определение КПД наклонной плоскости

Стр. 221

Цель работы: Определить коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости. Проверить гипотезу: «КПД простого механизма меньше 100% (на примере наклонной плоскости)».

Сократить текст Перефразировать

Приборы и материалы: Деревянная доска, динамометр, измерительная лента или линейка, брусок, штатив с муфтой и лапкой.

Ход работы:

1) Определим с помощью динамометра вес бруска: P = 0,46 Н.

Абсолютная погрешность ΔP равна цене деления динамометра: ΔP = 0,02 Н.

Сократить текст Перефразировать

2) Высота наклонной плоскости h = 21 см = 0,21 м

Абсолютная погрешность Δh равна цене деления линейки: Δh = 0,1 см = 0,001 м.

Сократить текст Перефразировать

3) Полезная работа равна А_п = Ph = 0,46 × 0,21 = 0,097 Дж.

4) Поднимаем брусок по наклонной плоскости с постоянной скоростью. Путь, который проходит брусок, равен: S = 40 см = 0,4 м.

Сократить текст Перефразировать

Абсолютная погрешность ΔS равна цене деления линейки: ΔS = 0,1 см = 0,001 м.

Сократить текст Перефразировать

5) С помощью динамометра смотрим, какая сила была приложена, чтобы перемещать брусок: F = 0,28 Н.

Абсолютная погрешность ΔF равна цене деления динамометра: ΔF = 0,02 Н.

Сократить текст Перефразировать

6) Затраченная работа равна А_з = FS = 0,28 × 0,4 = 0,112 Дж

7) Определяем КПД наклонной плоскости: η = $\frac{Ап}{Аз}$ × 100% = $\frac{0,097}{0,112}$ × 100% = 87%

h₁ ± Δh, м	P ± ΔP, H	А_п, Дж	S ± ΔS, м	F ± ΔF, H	А_з, Дж	η, %
0,210 ± 0,001	0,46 ± 0,02	0,097	0,400 ± 0,001	0,28 ± 0,02	0,112	87

Вывод: мы определили коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости и на опыте убедились, что полезная работа всегда меньше затраченной и КПД простого механизма всегда меньше 100%.

Сократить текст Перефразировать

Источник

Измерение физических величин основано на том, что физика исследует объективные закономерности, которые происходят в природе.

Найти значение физической величины — умножить конкретное число на единицу измерения данной величины, которая стандартизирована (эталоны).

Обрати внимание!

Процесс измерения физической величины состоит из:

1) поиска её значения с помощью опытов и средств измерения;

2) вычисления достоверности (точности измерений) полученного значения.

Точность измерений зависит от многих причин:

расположение наблюдателя относительно измерительного прибора: если на линейку смотреть сбоку, погрешность измерений произойдёт по причине неточного определения полученного значения;
деформация измерительного прибора: металлические и пластиковые линейки могут изогнуться, сантиметровая лента растягивается со временем;
несоответствие шкалы прибора эталонным значениям: при множественном копировании эталонов может произойти ошибка, которая будет множиться;
физический износ шкалы измерений, что приводит к невозможности распознавания значений.

Рассмотрим на примере измерения длины бруска линейкой с сантиметровой шкалой.

Рис. $1$. Линейка и брусок

Внимательно рассмотрим шкалу. Расстояние между двумя соседними метками составляет $1$ см. Если этой линейкой измерять брусок, который изображён на рисунке, то правый конец бруска будет находиться между $9$ и $10$ метками.

У нас есть два варианта определения длины этого бруска.

$1$. Если мы заявим, что длина бруска — $9$ сантиметров, то недостаток длины от истинной составит более половины сантиметра ($0,5$ см $= 5$ мм).

$2$. Если мы заявим, что длина бруска — $10$ сантиметров, то избыток длины от истинной составит менее половины сантиметра ($0,5$ см $= 5$ мм).

Погрешность измерений — это отклонение полученного значения измерения от истинного.

Погрешность измерительного прибора равна цене деления прибора.

Для первой линейки цена деления составляет $1$ сантиметр. Значит, погрешность этой линейки $1$ см.

Если нам необходимо произвести более точные измерения, то следует поменять линейку на другую, например, с миллиметровыми делениями. В этом случае цена деления будет равна $1$ мм, а длина бруска — $9,8$ см.

Рис. $2$. Деревянная линейка

Если же необходимы ещё более точные измерения, то нужно найти прибор с меньшей ценой деления, например, штангенциркуль. Существуют штангенциркули с ценой деления $0,1$ мм и $0,05$ мм.

Рис. $3$. Штангенциркуль

На процесс измерения влияют следующие факторы: масштаб шкалы прибора, который определяет значения делений и расстояние между ними; уровень экспериментальных умений.

Считается, что погрешность прибора превосходит по величине погрешность метода вычисления, поэтому за абсолютную погрешность принимают погрешность прибора.

Результаты измерения записывают в виде

A=a±Δa

, где $A$ — измеряемая величина, $a$ — средний результат полученных измерений,

Δa

— абсолютная погрешность измерений.

Источники:

Источник