Абсолютная ошибка аппроксимации это - Решение и исправление самых разных ошибок на TopOshibok.ru

From Wikipedia, the free encyclopedia

For broader coverage of this topic, see Approximation.

«Absolute error» redirects here. Not to be confused with Absolute deviation.

Graph of $f(x)=e^{x}$

(blue) with its linear approximation $P_{1}(x)=1+x$

(red) at a = 0. The approximation error is the gap between the curves, and it increases for x values further from 0.

The approximation error in a data value is the discrepancy between an exact value and some approximation to it. This error can be expressed as an absolute error (the numerical amount of the discrepancy) or as a relative error (the absolute error divided by the data value).

An approximation error can occur for a variety of reasons, among them a computing machine precision or measurement error (e.g. the length of a piece of paper is 4.53 cm but the ruler only allows you to estimate it to the nearest 0.1 cm, so you measure it as 4.5 cm).

In the mathematical field of numerical analysis, the numerical stability of an algorithm indicates the extent to which errors in the input of the algorithm will lead to large errors of the output; numerically stable algorithms to not yield a significant error in output when the input is malformed and vice versa. ^[1]

Formal definition[edit]

Given some value v and its approximation v_approx, the absolute error is

$\epsilon =|v-v_{\text{approx}}|\ ,$

^[2]^[3]

where the vertical bars denote the absolute value.
If $v\neq 0,$ the relative error is

$\eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|,$

and the percent error (an expression of the relative error) is ^[3]

$\delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.$

An error bound is an upper limit on the relative or absolute size of an approximation error.^[4]

Generalizations[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (April 2023)

These definitions can be extended to the case when and $v_{\text{approx}}$ are n-dimensional vectors, by replacing the absolute value with an n-norm.^[5]

Examples[edit]

Best rational approximants for π (green circle), e (blue diamond), ϕ (pink oblong), (√3)/2 (grey hexagon), 1/√2 (red octagon) and 1/√3 (orange triangle) calculated from their continued fraction expansions, plotted as slopes y/x with errors from their true values (black dashes)

As an example, if the exact value is 50 and the approximation is 49.9, then the absolute error is 0.1 and the relative error is 0.1/50 = 0.002 = 0.2%. As a practical example, when measuring a 6 mL beaker, the value read was 5 mL. The correct reading being 6 mL, this means the percent error in that particular situation is, rounded, 16.7%.

The relative error is often used to compare approximations of numbers of widely differing size; for example, approximating the number 1,000 with an absolute error of 3 is, in most applications, much worse than approximating the number 1,000,000 with an absolute error of 3; in the first case the relative error is 0.003 while in the second it is only 0.000003.

There are two features of relative error that should be kept in mind. First, relative error is undefined when the true value is zero as it appears in the denominator (see below). Second, relative error only makes sense when measured on a ratio scale, (i.e. a scale which has a true meaningful zero), otherwise it is sensitive to the measurement units. For example, when an absolute error in a temperature measurement given in Celsius scale is 1 °C, and the true value is 2 °C, the relative error is 0.5. But if the exact same approximation is made with the Kelvin scale, a 1 K absolute error with the same true value of 275.15 K = 2 °C gives a relative error of 3.63×10⁻³.

Instruments[edit]

In most indicating instruments, the accuracy is guaranteed to a certain percentage of full-scale reading. The limits of these deviations from the specified values are known as limiting errors or guarantee errors.^[6]

References[edit]

^ Weisstein, Eric W. «Numerical Stability». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2023-06-11.
^ Weisstein, Eric W. «Absolute Error». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2023-06-11.
^ ^a ^b «Absolute and Relative Error | Calculus II». courses.lumenlearning.com. Retrieved 2023-06-11.
^ «Approximation and Error Bounds». www.math.wpi.edu. Retrieved 2023-06-11.
^ Golub, Gene; Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations – Third Edition. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. p. 53. ISBN 0-8018-5413-X.
^ Helfrick, Albert D. (2005) Modern Electronic Instrumentation and Measurement Techniques. p. 16. ISBN 81-297-0731-4

External links[edit]

Weisstein, Eric W. «Percentage error». MathWorld.

Источник

Министерство
сельского хозяйства РФ

Федеральное
государственное бюджетное образовательное

учреждение
высшего профессионального образования

«Пермская
государственная сельскохозяйственная
академия

имени
академика Д.Н.Прянишникова»

Кафедра финансов,
кредита и экономического анализа

Выполнила:

студентка
3 курса заочного отделения

По
специальности: «Экономика и управление
на АПК»

Группа
ЭБУ-2011-1-4739

Гонцова
Елена Александровна

Проверил:
кандидат экономических наук Тупицина
Ольга Владимировна

Пермь 2014

Содержание

Ошибки
аппроксимации и ее определение………………………………….3
Аналитический
способ выравнивания временного ряда
и используемые при этом
функции……………………………………………………………..4
Практическая
часть…………………………………………………………..11
1. Задание
  1………………………………………………………………11
2. Задание
  2……………………………………………….………………19

Список
использованной литературы…………………………………………..25

Ошибки аппроксимации и ее определение.

Средняя ошибка
аппроксимации
– это среднее отклонение расчетных
данных от фактических. Она определяется
в процентах по модулю.

Фактические
значения результативного признака
отличаются от теоретических. Чем меньше
это отличие, тем ближе теоретические
значения подходят к эмпирическим данным,
это лучшее качество модели. Величина
отклонений фактических и расчетных
значений результативного признака по
каждому наблюдению представляет собой
ошибку аппроксимации. Их число
соответствует объему совокупности. В
отдельных случаях ошибка апроксимации
может оказаться равной нулю. Для сравнения
используются величины отклонений,
выраженные в процентах к фактическим
значениям.

Поскольку может
быть как величиной положительной, так
и отрицательной, то ошибки аппроксимации
для каждого наблюдения принято определять
в процентах по модулю. Отклонения можно
рассматривать как абсолютную ошибку
аппроксимации, и как относительную
ошибку аппроксимации. Чтоб иметь общее
суждение о качестве модели из относительных
отклонений по каждому наблюдению,
определяют среднюю ошибку аппроксимации
как среднюю арифметическую простую.

Среднюю ошибку
аппроксимации рассчитают по формуле:

Возможно и иное
определение средней ошибки аппроксимации:

Если А£10-12%, то
можно говорить о хорошем качестве
модели.

Аналитический способ выравнивания временного ряда и используемые при этом функции.

Более
совершенным приемом выявления основной
тенденции развития в рядах динамики
является аналитическое выравнивание.
При изучении общей тенденции методом
аналитического выравнивания исходят
из того, что изменения уровней ряда
динамики могут быть с той или иной
степенью точности приближения выражены
определенными математическими функциями.
Вид уравнения определяется характером
динамики развития конкретного явления.
На практике по имеющемуся временному
ряду задают вид и находят параметры
функции y=f(t), а затем анализируют поведение
отклонений от тенденции. Чаще всего при
выравнивании используются следующие
зависимости: линейная, параболическая
и экспоненциальная. Во многих случаях
моделирование рядов динамики с помощью
полиномов или экспоненциальной функции
не дает удовлетворительных результатов,
так как в рядах динамики содержатся
заметные периодические колебания вокруг
общей тенденции. В таких случаях следует
использовать гармонический анализ
(гармоники ряда Фурье). Применение,
именно, этого метода предпочтительно,
поскольку он определяет закон, по
которому можно достаточно точно
спрогнозировать значения уровней ряда.

Целью же аналитического
выравнивания динамического ряда является
определение аналитической или графической
зависимости y=f(t). Функцию y=f(t) выбирают
таким образом, чтобы она давала
содержательное объяснение изучаемого
процесса. Это могут быть различные
функции.

Системы уравнений
вида y=f(t) для оценки параметров полиномов
по МНК

(кликабельно)

Графическое
представление полиномов n-порядка

1.
Если изменение уровней ряда характеризуется
равномерным увеличением (уменьшением)
уровней, когда абсолютные цепные приросты
близки по величине, тенденцию развития
характеризует уравнение прямой линии.

2.
Если в результате анализа типа тенденции
динамики установлена криволинейная
зависимость, примерно с постоянным
ускорением, то форма тенденции выражается
уравнением параболы второго порядка.

3.
Если рост уровней ряда динамики происходит
в геометрической прогрессии, т.е. цепные
коэффициенты роста более или менее
постоянны, выравнивание ряда динамики
ведется по показательной функции.

После
выбора вида уравнения необходимо
определить параметры уравнения. Самый
распространенный способ определения
параметров уравнения — это метод
наименьших квадратов, в котором в
качестве решения принимается точка
минимума суммы квадратов отклонений
между теоретическими (выравненными по
выбранному уравнению) и эмпирическими
уровнями.

Выравнивание
по прямой (определение линии тренда)
имеет выражение: yt=a0+a1t

t—условное
обозначение времени;

а
0 и a1—параметры искомой прямой.

Параметры
прямой находятся из решения системы
уравнений:

Система уравнений
упрощается, если значения t подобрать
так, чтобы их сумма равнялась Σt = 0, т. е.
начало отсчета времени перенести в
середину рассматриваемого периода.
Если до переноса точки отсчета t = 1, 2, 3,
4…, то после переноса:

если число уровней
ряда нечетное t = -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

если
число уровней ряда четное t = -7 -5 -3
-1 +1 +3 +5 +7

Таким образом, ∑t
в нечетной степени всегда будет равна
нулю.

Аналогично находятся
параметры параболы 2-го порядка из
решения системы уравнений:

Выравнивание
по среднему абсолютному приросту или
среднему коэффициенту роста:

Δ-средний абсолютный
прирост;

К-средний коэффициент
роста;

У0-начальный уровень
ряда;

Уn-конечный уровень
ряда;

t-порядковый номер
уровня, начиная с нуля.

Построив
уравнение регрессии, проводят оценку
его надежности. Значимость выбранного
уравнения регрессии, параметров уравнения
и коэффициента корреляции следует
оценить, применив критические методы
оценки:

F-критерий Фишера,
t–критерий Стьюдента, при этом, расчетные
значения критериев сравниваются с
табличными (критическими) при заданном
уровне значимости и числе степеней
свободы. Fфакт > Fтеор — уравнение
регрессии адекватно.

n — число наблюдений
(уровней ряда), m — число параметров
уравнения (модели) регрессии.

Проверка
адекватности уравнения регрессии (
качества модели в целом) осуществляется
с помощью средней ошибки аппроксимации,
величина которой не должна превышать
10-12% (рекомендовано).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Для более широкого освещения этой темы см. Приближение.

График $f (x) = e ^ {x}$ (синий) с его линейной аппроксимацией $P_ {1} (x) = 1 + x$ (красный) при a = 0. Ошибка аппроксимации — это зазор между кривыми, и он увеличивается для значений x дальше от 0.

В ошибка приближения в некоторых данных есть расхождение между точным значением и некоторым приближением к нему. Ошибка аппроксимации может возникнуть по следующим причинам:

то измерение из данные неточность из-за инструментов. (например, точное показание на листе бумаги составляет 4,5 см, но поскольку линейка не использует десятичные дроби, вы округлите его до 5 см.) или
приближения используются вместо реальных данных (например, 3.14 вместо π ).

в математический поле численный анализ, то числовая стабильность из алгоритм указывает, как алгоритм распространяется ошибка.

Формальное определение

Обычно различают относительная ошибка и абсолютная ошибка.

Учитывая некоторую ценность v и его приближение v_{приблизительно}, то абсолютная ошибка является

$epsilon = | v-v _ { text {приблизительно}} | ,$

где вертикальные полосы обозначают абсолютная величина. Если то относительная ошибка является

$eta = { frac { epsilon} {| v |}} = left | { frac {v-v _ { text {приблизительно}}} {v}} right | = left | 1 - { гидроразрыв {v _ { text {приблизительно}}} {v}} right |,$

и процентная ошибка является

${ displaystyle delta = 100 \% times eta = 100 \% times { frac { epsilon} {| v |}} = 100 \% times left | { frac {v-v _ { текст {приблизительно}}} {v}} right |.}$

На словах абсолютная ошибка — это величина различия между точным значением и приближением. Относительная ошибка — это абсолютная ошибка, деленная на величину точного значения. Ошибка в процентах — это относительная ошибка, выраженная в процентах на 100.

An граница ошибки — верхний предел относительной или абсолютной величины ошибки аппроксимации.

Обобщения

Эти определения можно распространить на случай, когда и $v _ { text {приблизительно}}$ находятся п-мерные векторы, заменив абсолютное значение на п-норма.^[1]

Примеры

Например, если точное значение равно 50, а приближение — 49,9, то абсолютная ошибка составляет 0,1, а относительная ошибка составляет 0,1 / 50 = 0,002 = 0,2%. Другой пример: если при измерении стакана на 6 мл считанное значение будет 5 мл. Правильное показание составляет 6 мл, это означает, что процентная погрешность в данной конкретной ситуации округляется до 16,7%.

Использование относительной ошибки

Относительная ошибка часто используется для сравнения приближений чисел разного размера; например, приближение числа 1000 с абсолютной ошибкой 3 в большинстве приложений намного хуже, чем приближение числа 1 000 000 с абсолютной ошибкой 3; в первом случае относительная погрешность составляет 0,003, а во втором — всего 0,000003.

Следует иметь в виду две особенности относительной ошибки. Во-первых, относительная погрешность не определена, когда истинное значение равно нулю, как оно указано в знаменателе (см. Ниже). Во-вторых, относительная ошибка имеет смысл только при измерении на шкала отношений, (т.е. шкала с истинным значащим нулем), в противном случае она была бы чувствительна к единицам измерения. Например, когда абсолютная ошибка в температура измерение дано в Шкала Цельсия составляет 1 ° C, а истинное значение — 2 ° C, относительная погрешность составляет 0,5, а погрешность в процентах составляет 50%. В том же случае, когда температура указана в Шкала Кельвина, та же абсолютная ошибка 1 К с тем же истинным значением 275,15 К дает относительную ошибку 3,63×10⁻³ и процентная погрешность всего 0,363%. Температура по Цельсию измеряется на шкала интервалов, тогда как шкала Кельвина имеет истинный ноль, как и шкала отношений.

Инструменты

В большинстве индикаторных приборов точность гарантируется до определенного процента от полной шкалы. Пределы этих отклонений от указанных значений известны как предельные ошибки или гарантийные ошибки.^[2]

Смотрите также

Принятое и экспериментальное значение
Относительная разница
Неопределенность
Анализ экспериментальной неопределенности
Распространение неопределенности
Ошибки и неточности в статистике
Ошибка округления
Ошибка квантования
Погрешность измерения
Погрешность измерения
Машина эпсилон

использованная литература

^ Голуб, Гена; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления — Третье издание. Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. п. 53. ISBN 0-8018-5413-X.
^ Хелфрик, Альберт Д. (2005) Современные электронные приборы и методы измерения. п. 16. ISBN 81-297-0731-4

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Ошибка в процентах». MathWorld.

Источник

Понятие абсолютной ошибки аппроксимации — это фундаментальное измерение, используемое в различных областях знаний, включая математику, физику, инженерное дело и финансы. Она относится к разнице между расчетным или приблизительным значением и истинным или точным значением величины или измерения.
Абсолютная погрешность используется для количественной оценки точности или аккуратности приближения. Она позволяет определить, насколько близка или далека оценка от истинного значения, без учета направления расхождения. Другими словами, абсолютная погрешность не учитывает, выше или ниже фактическое значение, и концентрируется только на величине разницы.
Расчет абсолютной погрешности заключается в вычитании приблизительного значения из истинного и взятии абсолютного значения результата. Это гарантирует, что ошибка всегда положительна. Ее можно выразить с помощью следующего уравнения. Абсолютная погрешность = |приближенное значение — истинное значение|.
Абсолютная погрешность обычно выражается в тех же единицах, что и измеряемая или оцениваемая величина. Например, если истинное значение представляет собой длину, измеренную в метрах, абсолютная погрешность также будет выражена в метрах. Это облегчает оценку качества приближения, так как приближение можно напрямую сравнить с истинным значением.
Понимание и учет абсолютной погрешности аппроксимации важны во многих практических приложениях. Оно помогает выявить и минимизировать ошибки в научных вычислениях, инженерном проектировании, статистическом анализе и финансовом прогнозировании. Количественная оценка точности приближений помогает исследователям, инженерам и лицам, принимающим решения, принимать обоснованные решения и повышать надежность результатов или прогнозов.
Понимание абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность — это мера, используемая в математике и статистике для количественной оценки того, насколько сильно приближенное значение отклоняется от фактического. Она рассчитывается путем взятия абсолютной разницы между приближенным и истинным значением.
Один из способов понять абсолютную погрешность — рассмотреть примеры из реальной жизни. Предположим, вы измеряете длину объекта с помощью линейки. Линейка разделена на сантиметры, но измерение может быть не совсем точным. Абсолютная погрешность в этом случае — это положительная разница между измерением и истинной длиной объекта.
Важно отметить, что абсолютная ошибка дает количественную меру отклонения, но не указывает направление отклонения. Другими словами, она не говорит о том, является ли приближение завышенным или заниженным.
При использовании нескольких приближений или измерений абсолютную погрешность можно использовать для сравнения точности различных методов или устройств. Вычислив абсолютную погрешность каждого приближения, можно определить, какой метод или устройство является более точным.
Абсолютная погрешность также может использоваться для оценки надежности математической модели или алгоритма. Сравнивая рассчитанное значение с фактическим, можно определить, насколько хорошо модель или алгоритм работает с точки зрения точности.
В целом, абсолютная погрешность является ценным инструментом в математике и статистике для количественной оценки отклонений между приблизительными и истинными значениями. Она позволяет сравнивать точность различных приближений и измерений и оценивать надежность математических моделей и алгоритмов.
Что означает термин «абсолютная погрешность»?
Абсолютная погрешность — это математическое понятие, используемое для описания разницы между фактическим значением и приближенным значением величины. Она дает представление о том, насколько далека аппроксимация от точного значения. Абсолютные погрешности часто используются в научных и технических расчетах для оценки точности числовых приближений.
При проведении приближенных расчетов важно понимать, что они не являются точными и могут быть подвержены ошибкам. Абсолютная погрешность — это способ количественной оценки этих погрешностей. Она рассчитывается путем взятия абсолютной разницы между приблизительным и фактическим значениями. Абсолютные погрешности приводятся в единицах измеряемой величины, что облегчает их интерпретацию с точки зрения реального мира.
Например, если приблизительная длина составляет 10 метров, а фактическое значение — 9,8 метра, абсолютная погрешность равна 0,2 метра. Это означает, что приблизительное значение отличается от точного на 0,2 метра.
Важно отметить, что абсолютная погрешность всегда положительна, поскольку она представляет собой величину разницы между приблизительным и фактическим значениями, независимо от того, больше или меньше приблизительное значение по сравнению с фактическим.
Абсолютная погрешность — полезный инструмент для оценки точности измерений и расчетов. Вычисляя абсолютную погрешность, ученые и инженеры могут определить, насколько близко приближение к истинному значению, и при необходимости улучшить модели и методы.
Формула для расчета абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность аппроксимации — это мера разницы между фактическим значением и аппроксимацией. Она помогает оценить точность и надежность аппроксимации. Для расчета абсолютной погрешности используется следующая формула
Абсолютная погрешность = |аппроксимирующее значение — фактическое значение|
где:
Приближенное значение: значение, полученное с помощью метода аппроксимации или модели.
Действительное значение: истинное или известное значение, которое аппроксимируется.
Абсолютная ошибка всегда положительна, так как функция абсолютного значения гарантирует, что разница между приближенным и фактическим значениями неотрицательна. Абсолютная ошибка — это количественная мера того, насколько близко приближенное значение к фактическому.
При сравнении различных приближений или моделей, чем меньше абсолютная ошибка, тем лучше приближение. Однако важно учитывать контекст и диапазон аппроксимируемых значений. В некоторых случаях, в зависимости от области применения или уровня допуска, большие абсолютные ошибки могут быть приемлемы.
Абсолютная ошибка является полезной метрикой для оценки эффективности методов аппроксимации в различных областях, таких как математика, инженерное дело и научные исследования. Она помогает оценить качество аппроксимации и определить точность прогноза или оценки. Расчет абсолютной погрешности позволяет исследователям и практикам принимать обоснованные решения и повышать надежность своих моделей.
Интерпретация абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность — это мера того, насколько приближенное значение близко к фактическому. Она представляет собой разницу между приблизительным значением и истинным значением. При интерпретации абсолютной погрешности важно учитывать как величину, так и знак погрешности.
Величина абсолютной погрешности дает представление о том, насколько далека аппроксимация от действительного значения. Меньшая величина указывает на более точное приближение, в то время как большая величина указывает на менее точную оценку. Полезно сравнить абсолютные ошибки различных приближений, чтобы определить, какое из них является наиболее точным.
Знак абсолютной ошибки указывает направление, в котором приблизительное значение отклоняется от истинного. Если ошибка положительная, это означает, что приблизительное значение больше истинного. И наоборот, если ошибка отрицательная, это означает, что приблизительное значение меньше истинного. Интерпретация знака дает представление о смещении или тенденции аппроксимации.
При интерпретации абсолютной погрешности также важно учитывать контекст и единицы измерения. Различные единицы измерения могут повлиять на интерпретацию абсолютной погрешности. Например, небольшая абсолютная ошибка при измерении расстояния может иметь иное влияние, чем небольшая абсолютная ошибка при измерении времени.
В научном и статистическом анализе принято указывать абсолютную погрешность наряду с другими мерами точности, такими как относительная или процентная погрешность. Это позволяет более полно оценить аппроксимацию и получить более четкое представление о ее надежности.
Важность абсолютной погрешности при аппроксимации
Абсолютная погрешность играет важную роль в области аппроксимации. При попытке оценить или приблизить значение важно понимать точность приближения. Абсолютная ошибка может быть использована для количественной оценки разницы между расчетным и фактическим значением, что дает ценное представление о качестве аппроксимации.
Вычисляя абсолютную ошибку, можно определить, насколько приближение близко к истинному значению. Это особенно важно в таких областях, как математика, статистика и инженерное дело, где точные измерения и расчеты имеют решающее значение. Небольшая абсолютная ошибка указывает на высокую степень точности приближения, в то время как большая абсолютная ошибка свидетельствует о значительном отклонении от истинного значения.
Важность абсолютной погрешности заключается не только в оценке точности аппроксимации. Она также позволяет сравнить различные методы и модели аппроксимации. Рассчитав абсолютную погрешность нескольких подходов, можно определить, какой метод дает наиболее точные результаты. Это позволяет принимать обоснованные решения и выбирать лучший подход для конкретных нужд.
Кроме того, понимание абсолютной погрешности помогает оценить надежность расчетов и моделей. Постоянно высокие абсолютные погрешности указывают на возможные систематические ошибки или недостатки в методологии. Это понимание должно привести к переоценке процедуры и необходимым улучшениям для обеспечения более точных приближений в будущем.
В целом, важность абсолютной погрешности при аппроксимации заключается в возможности количественно оценить точность оценки, сравнить различные методы аппроксимации и выявить недостатки в расчетах и моделях. Используя абсолютную погрешность в качестве инструмента, можно принимать более обоснованные решения, совершенствовать методологии и, в конечном итоге, добиваться более точных приближений.

Источник

Formal definition[edit]

Generalizations[edit]

Examples[edit]

Instruments[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Ошибки аппроксимации и ее определение.

Аналитический способ выравнивания временного ряда и используемые при этом функции.

Формальное определение

Обобщения

Примеры

Использование относительной ошибки

Инструменты

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки